Series

Serie de Series......*
L. A. N´ nez** u˜ Centro de F´sica Fundamental, ı Departamento de F´sica, Facultad de Ciencias, ı Universidad de Los Andes, M´rida 5101, Venezuela y e Centro Nacional de C´lculo Cient´fico, Universidad de Los Andes, (CeCalCULA), a ı Corporaci´n Parque Tecnol´gico de M´rida, M´rida 5101, Venezuela o o e e Versi´n α 1.0 Abril 2007 o

´ Indice
1. Series por todos lados 1.1.La Suma de la Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Las Series de Siempre . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. El m´todo de la diferencia . . . . . . . . . . . e 1.1.3. Sumando por analog´ . . . . . . . . . . . . . ıa 1.2. Algebra Elemental de Series . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Criterios de Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Convergencia Absoluta o Condicional . . . .1.3.2. Criteterio de Comparaci´n . . . . . . . . . . o 1.3.3. Criterio de la Ra´ . . . . . . . . . . . . . . . ız 1.3.4. Criterio de D’Alembert . . . . . . . . . . . . 1.3.5. Criterio de la Integral de Maclaurin . . . . . 1.3.6. Series alternantes y convergencia condicional 2. Series de potencias 2.1. Convergencia de una serie de potencias . . . . 2.2. Covergencia uniforme . . . . . . . . . . . . .2.2.1. Criterio Mayorante de Weierstrass . . 2.2.2. Criterio de Abel . . . . . . . . . . . . 2.3. Algebra y convergencia de series de potencias 2.4. Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 5 7 7 7 8 8 8 9 9 10 11 12 13 13 14 14 16. . . . . .

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* ADVERTENCIA: El presente documento constituye una gu´ inacabada y en evoluci´n para los estudiantes ıa o de M´todos Matem´ticos de la F´ e a ısica de la Universidad de Los Andes. Es, en el mejor de los casos, un FORMULARIO y de ninguna manera sustituye a los l´ ıbros de texto del curso. La bibliograf´ de la cual han ıa surgido estas notas se presenta al final de ellas y debe serconsultada por los estudiantes. Es importante resaltar que por ser un documento en evoluci´n es posible que existan versiones m´s completas y actualizadas en este o a mismo sitio WEB ** e-mail: nunez@ula.ve Web: http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/nunez/

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Serie de Series...

Formulario de M´todos Matem´ticos 2 e a

2.4.1. Algunas Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 2.4.2. La expansi´n binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.4.3. Taylor en varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Series y Espacios de Hilbert 19 3.1. Completitud de E ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2.Conjunto completo de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4. Series de Polinomios Ortogonales 4.1. Polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Generalidades de los Polinomios de Legendre . . . . . . . . . . 4.1.2. Ortogonalidad de los Polinomios de Legendre . . . . . . . . . . 4.1.3. Relaci´n de Recurrencia . . . . . ....