Sistema alimentario

II -TEORIA DE LA ELASTICIDAD 2.1- Introducción La mecánica aplicada estudia el comportamiento de la materia en movimiento o en equilibrio bajo la acción de fuerzas externas. En una gran cantidad de problemas es conveniente introducir la hipótesis del continuo mediante el cual se ignora la estructura molecular de la materia ya sea sólida, líquida o gaseosa, y es posible imaginarla como un mediosin espacios vacíos o "agujeros". El comportamiento de la materia considerada como un medio continuo puede ser estudiado mediante la mecánica clásica y la termodinámica. La teoría que describe el comportamiento de esta materia idealizada se denomina comúnmente mecánica del continuo o teoría del medio continuo. La mecánica del continuo no puede tratar muchos problemas de tecnología moderna (que tieneen cuenta la estructura molecular de la materia), ejemplo de ésto es el paso de vehículos aeronáuticos y astronáuticos en la atmósfera (mecánica estadística), ciertos fenómenos de ondas de choque, movimientos altamente turbulentos de líquidos y gases, etc. La etapa final de la investigación del comportamiento del continuo la constituirá la comparación de resultados obtenidos mediante la teoríacon la respuesta del modelo experimental o real. La teoría del medio continuo requiere la aplicación de la teoría de límites, ya que supone la no existencia de vacíos o agujeros. De este modo resultará que las propiedades del medio varían en forma continua en el espacio y en el tiempo. 2.2- Tensiones en un medio continuo Dos tipos de fuerzas actúan sobre un cuerpo para producir tensiones; lasfuerzas superficiales que actúan sobre la superficie del cuerpo, llamadas también fuerzas de contacto, y las fuerzas másicas que actúan sobre cada partícula, es decir sobre el volumen del cuerpo (fuerzas de gravedad, centrífugas, etc.). Consideremos una superficie, plana o curvilínea, sobre la cual, en una pequeña área (∆A), actúa un sistema de fuerzas cuya resultante es ∆Fn: n P ∆Fn ∆A

La tensiónresultante actuando en el punto P, se obtiene al tomar límite de:

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Tn = lim ∆A→0

Fn A

Es importante notar que la tensión resultante Tn es función de la posición del punto P y de la orientación del plano normal (n). Como se ilustra en la figura, Tn se resuelve en dos componentes, una normal a la

superficie ( σn), y otra perpendicular a ésta ( τn).

n = (n x , n y , n z )

σn n Pτn X Tn

Z

Y

Para un sistema de coordenadas cartesianas, tenemos:
σx τ yx τ zx τ xy σy τ zy τ xz τ yz σz

Estas nueve cantidades definen al tensor de tensiones. 2.2.1- Tensiones en un punto Para un punto dado en el cuerpo, la magnitud y dirección de la tensión resultante depende de la orientación del plano que pase por el punto. Un número infinito de tensiones resultantes puede serusado para representar la tensión resultante; su magnitud y dirección se puede especificar en términos de las nueve componentes cartesianas. Esto puede ser mostrado analizando el equilibrio de un prisma: z σx τxz τzx σz x 20 A

τyx σy τyz τzy

τxy

y

Haciendo la sumatoria de fuerzas según x (en el prisma no se incluyó la tensión Tn y la fuerza másica F) : Tn,x.A - σx.A.nx - τyx.A.ny -τzx.A.nz + Fx.h.A/3 = 0 Haciendo tender a cero las dimensiones del prisma (h): Tn,x = σx.nx + τyx.ny + τzx.nz Dos ecuaciones similares se obtienen considerando el equilibrio en las otras dos direcciones y, z : Tn,y = τxy.nx + σy.ny + τzy.nz Tn,z = τxz.nx + τyz.ny + σz.nz La tensión resultante es:
2 2 2 Tn = Tn,x + Tn,y + Tn,z

La tensión normal y la de corte, sobre el plano en cuestión valen: σn =Tn.cos(Tn,n)
n

σn Tn

τn

τn = Tn.sen(Tn,n)

Es importante puntualizar que estas ecuaciones son también condiciones de borde que la solución matemática del problema debe satisfacer; por ejemplo, en aquellas porciones libres de fuerza externa se deberá verificar: σx.nx + τyx.ny + τzx.nz = 0 τxy.nx + σy.ny + τzy.nz = 0 τxz.nx + τyz.ny + σz.nz = 0 2.2.2- Ecuaciones diferenciales de...