Sistema de coordenadas polares


Sistema de coordenadas Polares
En algunos problemas es más conveniente localizar un punto mediante sus coordenadas polares en vez de usas coordenadas rectangulares. Las coordenadas polares dansu posición relativa a un punto de referencia fijo O, llamado el polo y a un rayo dado, llamado eje polar que parte de O.

Si P es cualquier punto del plano, r la distancia de O a P,  (medidoen radianes) el ángulo formado por la recta OP y el eje polar. Entonces P está representado por el par ordenado (r, ) que son las coordenadas polares de P.
Por convención, es positivo si se mideen dirección contraria al movimiento de las agujas del reloj y es negativo si se mide a favor del movimiento de las agujas del reloj.
Si P = O, la distancia de O a P es cero, es decir r = 0 y elpar ordenado (0 , ) es el polo para todo .
Los puntos (r, ) y (- r, ) están en la misma recta que pasa por O y a la misma distancia r de O pero en semirrectas opuestas.
Si r > 0, entonces (r, )está en el mismo cuadrante que .
Si r< 0, entonces (r, ) está en el cuadrante opuesto respecto del polo, es decir (- r, ) es el mismo punto que (r, ).
Ejemplos:
1)









2)Un punto del plano, si se representa en coordenadas cartesianas, su representación es única, en cambio si se lo representa en coordenadas polares, posee muchas representaciones, por ejemplo:el punto del ejemplo 2) se podría expresar en las formas , como se muestra en la siguiente figura:


Veamos cómo se relacionan las coordenadas polares con las cartesianas.

El polocorresponde al origen del sistema. El eje
polar con el semieje positivo de las x positivas.
Si el punto P tiene coordenadas cartesianas (x, y)
y polares (r, α), entonces de acuerdo con la figuraPodemos establecer las coordenadas polares desde las coordenadas cartesianas, usando las ecuaciones:


Se tiene entonces:
- Cartesianas a polares: ,
- Polares a cartesianas: