Coordenadas Polares

COORDENADAS POLARES

El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia. Donde todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r, θ), donde r es la distancia del punto al origen o polo y θ es el ángulo positivo en sentido antihorario medido desde el eje polar (equivalente aleje x del sistema cartesiano). La distancia se conoce como la «coordenada radial» mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».
* CONVERSIÓN DE COORDENADAS:

En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo θ delvector de posición sobre el eje x.

1. Conversión de coordenadas polares a rectangulares
Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo θ sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:

2. Conversión de coordenadas rectangulares a polares
Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es:θ = atan( y / x )

* TRAZADO DE CURVAS

1. Determinación de las intersecciones con el eje polar (Eje X) y con el eje a 90º
(Eje Y).

a) Intersecciones: Las intersecciones con el eje polar, cuando existen, se obtienen asignando a θ valores sucesivos 0, ± π, ± 2π, ± 3π,…, ± nπ; donde n es un entero cualquiera.

2. Determinación de lasimetría de la curva con respecto al eje polar, al eje a 90º y
al polo.

b) Simetría:

Simetría con respecto al | Ecuación Equivalente |
Eje Polar | Se sustituye 0 por menos 0Se sustituye 0 por menos 0 y r por -r |
Eje a 90° | Se sustituye 0 por pi-0Se sustituye 0 por menos 0 y r por -r |
Polo | Se sustituye 0 por pi+0 |

3. Determinación de la extensión del lugar geométrico.c) Lugar Geométrico: Primeramente se despeja r en función de θ, de la siguiente forma:
r = f (θ)
* Si r es finita para todo valor de θ, se trata de una curva cerrada
* -Si r se vuelve infinita para ciertos valores de θ, la grafica no puede ser una curva cerrada.
* Para valores de θ que hacen a r compleja no hay curva.

4. Calculo de las coordenadas de un número suficiente depuntos para obtener la
gráfica.
“Se asigna un valor particular a θ, y así se obtienen valores reales correspondientes a r. Se pueden tomar valores de θ a intervalos de 30º”…

5. Trazado de la grafica.
6. Transformación de la ecuación polar a rectangular.
* INTEGRALES DOBLES POR COORDENADAS POLARES:
Para definir la integral doble de una función continua = f ( x,y ) en coordenadaspolares, consideremos una región R acotada por las graficas de r = g 1 ( 0 ) y r = g2 ( 0 ) y por las rectas 0 = x 0 = B. En vez de dividir R en pequeños rectángulos, la dividimos en pequeños sectores polares formado por semirrectas radiales y círculos. Los sectores polares R1 cuya norma // A // es la diagonal más grande entre todas las de sus sectores polares.

1. “Cambio de coordenadaspolares en integrales dobles”:

a) Se realiza la transformación de coordenadas rectangulares a coordenadas polares, luego de ello definimos la región R por medio de:



b) Donde el diferencial de área se define a partir de:

c) Dando como resultado:

* TEOREMA: “Si es continua en un rectángulo R dado por , donde entonces”:






*“EXTENSIÓN A MÁS DE DOS DIMENSIONES”:
* El sistema de coordenadas polares puede extenderse a tres dimensiones con dos sistemas de coordenadas diferentes: el sistema de coordenadas cilíndricas y el sistema de coordenadas esféricas. El sistema de coordenadas cilíndricas añade una coordenada de distancia, mientras que el sistema de coordenadas esféricas añade una coordenada angular:
a)...