coordenadas polares

Sergio Yansen Núñez
1.

Calcule el área de la región encerrada por uno de los cuatro pétalos de la rosa
r = cos2θ.

Solución:
Los límites de integración se obtienen de las soluciones de laecuación:
cos2θ = 0

π

θ = π , en el primer cuadrante.
4

⇒

π

π

A = ∫ 4 π 1 r 2 dθ = 1 ∫ 4 π r 2 dθ = 1 ∫ 4 π cos 2 2θdθ
−4 2
2 −4
2 −4
Por simetría:
π
π
π
1 + cos4θ
A= 1 ⋅ 2 ∫ 4 cos 2 2θdθ = ∫ 4 cos 2 2θdθ = ∫ 4
dθ
0
0
0
2
2
π

A = 1 ∫ 4 1 + cos4θdθ = π
8
2 0

Área en coordenadas polares

Sergio Yansen Núñez
2.

Calcule el área de laregión encerrada dentro de la circunferencia r = 3 sinθ
y fuera de la cardioide r = 1 + sinθ.

Solución:
Puntos de intersección:
3 sinθ = 1 + sinθ

⇒ sinθ = 1
2

θ= π
6

θ = π − π= 5π
6
6

⇒

,

5π

(en cuadrantes I y II).

5π

A = 1 ∫ π6 3 sinθ 2 dθ − 1 ∫ π6 1 + sinθ 2 dθ
2 6
2 6
Por simetría, se tiene:
π

π

2
2
A = 1 ⋅ 2 ∫ π 9 sin 2 θdθ − 1⋅ 2 ∫ π 1 + sinθ 2 dθ
2
2
6
6
π

π

6

6

2
2
A = ∫ π 9 sin 2 θdθ − ∫ π 1 + sinθ 2 dθ
π

2
A = ∫ π 9 sin 2 θ − 1 + sinθ 2 dθ
6

π

2
A = ∫ π 8 sin 2 θ − 1 − 2sin θ dθ
6

Usando la identidad:
π

2
A = ∫π 8⋅
6

sin 2 θ =

1 − cos2θ
2

Área en coordenadas polares

1 − cos2θ
se tiene:
2

− 1 − 2 sin θ dθ

Sergio Yansen Núñez
π2
A = ∫ π 4 − 4 cos 2θ − 1 − 2 sin θdθ
6

π

2
A = ∫ π 3 − 4 cos 2θ − 2 sin θdθ = π
6

Área en coordenadas polares

Sergio Yansen Núñez
3.

Calcule el área de la región encerradapor la lemniscata:

r 2 = 9 cos2θ.

Solución:

Por simetría, se calculará 4 veces el área de la porción en el primer cuadrante.
cos2θ = 0
π

⇒

θ= π
4
π

, en el primer cuadrante.π

A = 4 ⋅ ∫ 4 1 r 2 dθ = 2 ∫ 4 r 2 dθ = 2 ∫ 4 9 cos2θdθ
0 2
0
0
π

A = 18 ∫ 4 cos2θdθ = 9
0

Área en coordenadas polares

Sergio Yansen Núñez
4.

Calcule el área de la región...