Sistema de ecuaciones lineales

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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR PROGRESO
ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO DEL GOBIERNO DEL ESTADO
CLAVE: 31ETI0004Q

ASIGNATURA:
ALGEBRA LINEAL

TRABAJO:
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, CLASIFICACIÓN Y TIPOS DE SOLUCIONES

Progreso Yucatán a 14 de marzo de 2011
¿QUE ES UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES?

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuacioneslineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables  x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
¿CUÁL ES LA CLASIFICACIÓN DE LOSSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES?

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:
* Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.
* Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:
* Sistema compatible determinado cuando tieneun número finito de soluciones.
* Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
Quedando así la clasificación:

Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (híper) planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (híper) planos o rectas que se cortan en un únicopunto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (híper) planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un híper plano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:

Sistemas compatibles indeterminados
Un sistema sobre uncuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:

Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es  y que pasa por el punto  , por lo que ambas intersecan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto eninfinitos puntos.
* En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como función matemática del resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.
* Una condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado esque el determinante de la matriz del sistema sea cero (y por tanto uno de sus autovalores será 0):

* De hecho, de las dos condiciones anteriores se desprende, que el conjunto de soluciones de un sistema compatible indeterminado es un subespacio vectorial. Y la dimensión de ese espacio vectorial coincidirá con la multiplicidad geométrica del autovalor cero.
Sistemas incompatibles
De unsistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución. Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:

Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.
Matemáticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rangode la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condición necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero:

¿CUALES SON LOS TIPOS DE SOLUCIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES?

Métodos de solución a sistemas de ecuaciones lineales

SUSTITUCIÓN

El método de sustitución consiste en despejar en una de las...
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