Sistemas de control

APUNTES DE CONTROL DISTRIBUIDO 05-06 Depto. Ingenier´ de Sistemas y Autom´tica ıa a Universidad de Sevilla

Tema 3

Sistemas din´micos lineales de primer a orden
3.1. Introducci´n o

Se denomina sistema lineal diferencial de primer orden de entrada u(t) y salida y(t) al sistema regido por una ecuaci´n diferencial de la forma o dy + ay = bu dt (3.1)

en donde a y b son dos constantes,denominadas coeficientes de la ecuaci´n; u(t) es una o se˜al denominada se˜al de entrada o excitaci´n; e y(t) es otra se˜al denominada se˜al de salida n n o n n del sistema. El conjunto se interpreta con un diagrama de bloques tal como el de la figura 3.1. La ecuaci´n diferencial anterior admite una soluci´n unica siempre que se fije el valor inicial o o ´ de y(t). Este valor inicial se denotar´ en loque sigue por ξ. La ecuaci´n (3.1) establece que a o la pendiente de y(t) en cada instante de tiempo, es una combinaci´n lineal de los valores que o toma en este instante u(t) e y(t). En la figura 3.2 se muestran las evoluciones de u(t) e y(t). En la pr´ctica se presentan m´ltiples sistemas que pueden ser representados por una ecuaa u ci´n diferencial de primer orden. De hecho es una de lasaproximaciones m´s sencillas que se o a pueden hacer del comportamiento din´mico de un sistema. En el apartado 3.3 se presentan a distintos sistemas que pueden ser representados por una ecuaci´n diferencial de primer orden. o

u(t)

y(t)

Figura 3.1: Sistema de primer orden (1)

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u

u(t)

t

y

dy(t) dt

y(t) t ξ

Figura 3.2:Sistema de primer orden (2)

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3.2.

Soluci´n de la ecuaci´n diferencial de primer orden o o

Para el estudio de la soluci´n de la ecuaci´n diferencial de primer orden, conviene distinguir o o dos casos:

3.2.1.

Se˜ al de entradanula n

En el supuesto de que la se˜al de entrada u(t) sea nula para todo t, la ecuaci´n diferencial n o de primer orden se convierte en dy = −ay dt y(0) = ξ (3.2)

lo que constituye la parte homog´nea de la ecuaci´n diferencial de primer orden de (3.1). La e o soluci´n de esta ecuaci´n puede obtenerse por integraci´n directa haciendo, o o o dy = −a dt y cuya integraci´n conduce a, o ln y(t) − lny(0) = −at lo que, teniendo en cuenta que y(0) = ξ, puede escribirse, yh (t) = ξe−at El sub´ ındice h se refiere a que esta soluci´n lo es de la parte homog´nea de (3.1). o e Las figuras 3.3 y 3.4 muestran la forma general de la evoluci´n de yh (t) seg´n que a sea, o u respectivamente, negativa o positiva. Estas figuras muestran c´mo se comporta un sistema o en ausencia de excitaci´n. Aparece unaclara distinci´n entre dos formas de comportamiento o o que permiten una primera clasificaci´n de los sistemas en estables o inestables, seg´n que la o u evoluci´n libre de los mismos tienda a una estado de reposo o no. o

3.2.2.

Se˜ al de entrada no nula n

Se trata de resolver la ecuaci´n diferencial (3.1) en el caso en que u(t) no sea id´nticamente o e nula. Para simplificar la notaci´n seescribir´ v(t) = b0 u(t), con lo que la ecuaci´n (3.1) se o a o convierte en dy + ay = v dt (3.3)

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y(t)

ξ t

Figura 3.3: Primer orden divergente

y(t)

ξ

t

Figura 3.4: Primer orden convergente

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Se trata de determinar qu´ funci´n w(t) debe sumarse a la soluci´n homog´nea yh (t) para e o o e obtener la soluci´n de la ecuaci´n (3.3). Es decir, se supone que y(t) se descompone en, o o y(t) = yh (t) + w(t) lo que llevado a la ecuaci´n (3.3) resulta, o d(yh +...