Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incognitas

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SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.
El propósito de este tema es enseñarte a resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. En primer lugar se analiza gráficamente un sistema para que se entienda mejor el significado de las soluciones. Verás que un sistema puede tener una solución, no tener solución o tener infinitas soluciones. A continuación se pasa aresolver sistemas. Se analizan uno a uno los tres métodos de resolución: Página 4 Página 7 Página 10 Página 14 Método de Sustitución Método de Igualación Método de Reducción Ejercicios Resueltos.

Aparecen tres ejercicios resueltos con varios ejemplos cada uno indicando qué método puede ser el más conveniente en cada caso, aunque se puede aplicar cualquiera de ellos. Página 19 Ejercicios Propuestos.Estos ejercicios no están resueltos pero se indica la solución. Página 21 Problemas Resueltos.

Estos sistemas son muy útiles para resolver problemas en los que aparecen dos incógnitas. En este apartado se explica cómo se puede hacer el planteamiento de un problema y luego se resuelve. Página 33 Problemas Propuestos.

Ahora te toca a ti practicar. No mires la solución hasta el final. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.
Una ecuación lineal con dos incógnitas es una expresión de la forma: ax + by = c donde a, b, y c son números (coeficientes) y las incógnitas son x e y. Gráficamente representa una recta en el plano. Veamos un ejemplo. Representa la recta 2x + y = 1 Para representar una recta en el plano 1º Despejamos y. y = -2x + 1 2º Hacemos una tabla devalores dando los valores que queramos a la x. x y -2 5 -1 3 0 1 1 -1 2 -3

3º Representamos los puntos en el plano y los unimos.

Atención !! Las soluciones de la ecuación anterior son los puntos por los que pasa la recta, por lo tanto tiene infinitas soluciones, que hemos ido encontrando dando valores a la x. Algunas de estas soluciones son: (-2, 5), (-1,3), (0, 1), (1,-1), (2,-3), (3,-5) Unsistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas será de la forma: ⎧ ax + by = c ⎨ ⎩a ' x + b ' y = c ' Nuestro objetivo es resolver dicho sistema, es decir, encontrar los valores de x e y que cumplen las dos ecuaciones a la vez. ¿habrá siempre solución? ¿habrá una única solución o infinitas?

Gráficamente lo que tenemos son dos rectas en el mismo plano y se pueden dar tres situaciones: 1º.Las rectas se cortan en un punto. Hay una solución, que es el punto de corte.

2º Las rectas son paralelas. No hay solución, pues las rectas no se cortan.

3º Las rectas son coincidentes. Hay infinitas soluciones, los puntos de una de las rectas.

Para resolver un sistema analíticamente se pueden seguir tres métodos. Dependiendo de cómo venga expresado el sistema un método puede ser másfácil de aplicar que otro.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN. 1. Se despeja una incógnita de una ecuación (la que te parezca más fácil de despejar) 2. Se sustituye en la otra ecuación, quedando una ecuación de primer grado. 3. Se resuelve la ecuación. 4. El valor obtenido para la incógnita lo sustituyes en una de las ecuaciones y operando sacas la otra. Atención!! En el paso 3 pueden suceder tres situaciones:* Si llegas a 0 = 0 entonces hay infinitas soluciones * Si llegas a 0 = k ( k distinto de cero) no hay solución * Si llegas a un valor entonces hay una solución única y haces el paso 4. Este método resulta fácil de aplicar cuando una de las incógnitas tiene coeficiente igual a uno o cuando una de las incógnitas te la dan ya despejada. Ejemplo 1 ⎧ x+ y =2 ⎨ ⎩2 x + y = 5 1º Despejo por ejemplo la xde la primera ecuación: 2º Sustituyo 3º Resuelvo la ecuación x=2–y 2(2 - y) + y = 5 4 - 2y + y = 5 -y = 5 – 4 y = -1 x + (-1) = 2 x -1 = 2 x=3 x = 2 – (-1) x=3

4º Sustituyo el valor obtenido en una ecuación

O bien sustituyes en la ecuación del primer paso Solución ( x = 3 , y = -1)

Si quieres comprobar que la solución es correcta la sustituyes en las ecuaciones iniciales: 3-1 = 2 , 2 =...
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