Sistemas homogeneos

Introducción

En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático consistente en encontrar las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar.

Los sistemas incompatibles geométricamente secaracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraicolos sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero.

Sistemas homogéneos Un sistema de ecuaciones es homogéneo si todos sus términos independientes son iguales a cero. Por ejemplo, el sistema siguiente es homogéneo: |
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El conjunto solución de este sistema es un subespacio vectorial con Vectores En El Plano de Estosignifica que el conjunto solución es, o bien el vector, o bien una recta que pasa por el punto , o un plano que pasa por el punto .

Como ya se ha dicho, la primera opción no es posible, porque el sistema sería compatible determinado y esto no puede ocurrir en sistemas con más incógnitas que ecuaciones.

Cuando las filas de la matriz asociada son linealmente independientes, es decir,ninguna es múltiplo es de la otra, la solución al sistema es una recta en que pasa por el origen. Es el caso del ejemplo anterior. Las dos filas de la matriz. |
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Son linealmente independientes. Geométricamente, eso significa que cada ecuación del sistema representa un plano distinto y la solución del sistema es el conjunto de todos los puntos de la recta donde se interceptan los dos planos.|

Para encontrar la solución al sistema, se busca la manera de expresar dos de las incógnitas en función de una tercera.

Por ejemplo, una manera puede ser la siguiente:

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Sustituyendo a en la segunda ecuación:

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Ahora, se sustituye en la ecuación (1) y se obtiene:

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Se tienen, así, las incógnitas, expresadas en función de, y el conjuntosolución es el formado por todos los vectores en que tienen la forma: y puede tomar el valor de cualquier número real.

Por ejemplo: Para | se obtiene el vector |
Para | |
Para | |
Se dice, entonces, que la solución al sistema homogéneo es la recta que pasa por el origen y contiene al vector (ó, o cualquier otro vector no nulo que se obtenga como solución particular). |

Elúltimo caso, el de un sistema homogéneo de 2 ecuaciones y 3 incógnitas cuya solución es un plano que pasa por el origen, es muy sencillo. Ese caso se da cuando una fila de la matriz asociada es múltiplo de la otra. Cuando eso ocurre, las dos ecuaciones son equivalentes y cualquiera de las dos representa el plano que es la solución del sistema.

Por ejemplo: |
Las dos ecuaciones de este sistemason equivalentes (la segunda es igual a la primera multiplicada por) y ambas representan el mismo plano en que pasa por el origen. |

Sistema de ecuaciones no homogéneo

Son aquellos en los que por lo menos uno de los términos independientes es distinto de cero (0).

Tipos de sistemas

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que puedenpresentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:
Sistema incompatible: Si no tiene ninguna solución.
Sistema compatible: Si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:
Sistema compatible determinado: Cuando tiene un número finito de soluciones.
Sistema compatible indeterminado: Cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
Quedando así la...