Sistemas No Lineales

Sistemas No-Lineales
Profesor: Mar´ Etchechoury ıa Departamento de Matem´tica, Facultad de Ciencias Exactas a Universidad Nacional de La Plata e-mail: marila@mate.unlp.edu.ar

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Introducci´n o
En distintas ramas de la F´ ısica y de la Ingenier´ se utilizan los sistemas no-lineales ıa para modelar por ejemplocircuitos el´ctricos, sistemas mec´nicos, procesos qu´ e a ımicos, etc. En este Curso estudiaremos sistemas din´micos modelados por un n´mero finito de a u ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden: x1 = f1 (t, x1 , . . . , xn ) ˙ x2 = f2 (t, x1 , . . . , xn ) ˙ . . . xn = fn (t, x1 , . . . , xn ) ˙ dxi . dt Llamamos a las variables x1 , x2 , . . . , xn variables de estado del sistema. Ennotaci´n o matricial se tendr´: a     x1 f1 (t, x)  x2   f2 (t, x)      x =  .  , f (t, x) =  ; . .  .  .   . xn fn (t, x) xi = xi (t), xi = ˙ luego el sistema din´mico queda representado por a x = f (t, x) ˙ llamada ecuaci´n de estado del sistema. Un caso especial es aqu´l en el que el campo o e vectorial f no depende expl´ ıcitamente del tiempo t, x = f (x), ˙ y se llama sistemaaut´nomo o invariante en el tiempo. Con este tipo de sistemas o trabajaremos a lo largo del Curso. Algunos conceptos fundamentales vinculados a los Sistemas No-Lineales. Existen conceptos fundamentales de los sistemas no-lineales que nos ayudar´n a describir a su comportamiento. Algunos de ellos son: 1. Punto de equilibrio: Un punto x = x∗ en el espacio de estados se llama punto de equilibrio para elsistema x = f (x), si, cuando el estado (trayectoria o soluci´n) ˙ o 2 donde

del sistema comienza en x∗ , permanece en x∗ para todo tiempo futuro, tambi´n se e lo llama punto fijo o punto estacionario. Para sistemas aut´nomos los puntos de o equilibrio son las ra´ ıces reales de la ecuaci´n f (x) = 0. El punto de equilibrio se o dice aislado si existe alg´n entorno del punto donde no existe otroequilibrio del u sistema. 2. Estabilidad de un punto de equilibrio: Un punto de equilibrio x∗ es estable si para todo entorno V de x∗ existe un entorno V1 ⊂ V tal que toda soluci´n x(x0 , t) o del sistema (2), con x0 ∈ V1 (donde x0 es la condici´n inicial), est´ definida y o a permanece en V para todo t > 0. Si V1 puede elegirse de modo tal que x(x0 , t) → x∗ cuando t → ∞, entonces se dice que x∗es asint´ticamente estable. o 3. Sistemas Planares: son tambi´n llamados sistemas de dimensi´n dos o sistemas e o de dos variables de estado. Se representan por dos ecuaciones diferenciales escalares. Las soluciones del sistema se pueden representar como curvas en el plano, que llamaremos tambi´n ´rbitas. Las ´rbitas se representan en lo que se llama el e o o plano de fase del sistema. 4.Oscilaci´n: Un sistema oscila cuando tiene una soluci´n peri´dica no trivial. En o o o un sistema planar una soluci´n peri´dica en el plano de fase resulta una ´rbita o o o cerrada. El Curso se dictar´ en tres clases, donde se desarrollar´n los siguientes temas: a a • Primera Clase: Sistemas de Segundo Orden: Generalidades. Sistemas Planares Lineales: clasificaci´n de puntos de equilibrio. o • SegundaClase: Sistemas Planares No-Lineales: puntos de equilibrio, linealizaci´n, ciclos l´ o ımites. • Tercera Clase: Estabilidad de Lyapunov: estabilidad de puntos de equilibrio. Teoremas de estabilidad de Lyapunov. Dominio de atracci´n. o

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Primera Clase: Sistemas de Segundo Orden. Sistemas Planares Lineales.

Sistemas de Segundo Orden. Est´n determinados por dos ecuaciones diferenciales a deprimer orden: x1 = f1 (x1 , x2 ) ˙ x2 = f2 (x1 , x2 ) ˙ Las soluciones del sistema se pueden representar como curvas en el plano. Si por ejemplo x(t) = (x1 (t), x2 (t)) es la soluci´n del sistema planar para cierta condici´n inicial o o 0 0 0 a a x = (x1 , x2 ), entonces la gr´fica en el plano x1 − x2 ser´ una curva que pasa por x0 . Al plano x1 − x2 donde se representan las ´rbitas o...