sociologia

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

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CAPÍTULO VI
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
Antes de iniciar el estudio de este capítulo, conviene reflexionar sobre el
siguiente problema:
Imagine que un peatón debe ir de un punto A de la ciudad a un punto B y
debe pasar necesariamente por un punto C, si el trayecto de A a C lo puede
hacer por cuatro rutas diferentes y el trayecto de C a B por cinco,es claro
que puede ir de A hacia B por 5 4 = 20 rutas distintas. Las opciones se
deben multiplicar.
Si el mismo peatón tuviese que ir del un punto A hacia otro punto B y
tuviese la opción de elegir 3 rutas distintas, pero si además pudiese elegir la
opción de tomar un minibús que lo lleve por 2 rutas distintas, las diferentes
formas en que puede trasladarse de A hacia B serán 3+2 = 5 rutasdistintas,
en este caso las opciones se deben sumar.
Este razonamiento se puede aplicar a un número de opciones con más
alternativas de recorrido que los mostrados, debiendo mantenerse el
principio de multiplicación o adición donde corresponda.
6.1 PERMUTACIÓN
Se denomina permutación al arreglo u ordenación que se pueda dar a un
grupo de cosas, ya sea tomando todos lo elementos a la vez o aun grupo
definido de ellos. El orden en que toman los elementos define diferentes
permutaciones.
Los elementos a,b,c permiten efectuar seis permutaciones si se toman dos
elementos a la vez, ellas son:
ab, ac, bc, ba, ca, cb
Si se consideran los tres elementos a la vez también pueden efectuarse seis
permutaciones
abc, acb, bac, bca, cab, cba,
Cuando en una permutación no se consideran todoslos elementos a la vez,
se denominan variaciones o coordinaciones.

ÁLGEBRA I

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6.2 PERMUTACIONES DE N COSAS TOMADAS DE DOS EN DOS
n

P2

Sean a,b,c,d, …….n letras con las que se desea formar permutaciones
tomando dos letras a la vez, entonces tomando la letra a como primer
elemento y las siguientes como segundo tendremos:
a, a, a, a, a, …. n-1 veces
b, c, d, e, f, …. n-1letras
ab, ac, ad, ae, af,
n-1 resultados
Con la letra b como primer elemento tendremos:
b, b, b, b, b, …. n-1 veces
a, c, d, e, f, …. n-1 letras
ba, bc, bd, be, bf,
n-1 resultados
Luego con c
c, c, c, c, c, …. n-1 veces
a, b, d, e, f, …. n-1 letras
ca, cb, cd, ce, cf,
n-1 resultados
………………………………….
Hasta llegar a la n-ésima letra
Existen, por tanto, n(n-1) permutaciones binarias.
6.3PERMUTACIONES DE N COSAS TOMADAS DE TRES EN
n

P

TRES 3
Sean a,b,c,d, …….n letras con las que se desea formar permutaciones
tomando tres letras a la vez, entonces tomando las letras ab como primer
elemento y las siguientes como segundo tendremos:
ab, ab, ab, ab, ab, …. n-2 veces
c,
d, e, f, g …. n-2 letras
abc, abd, abe, abf, abg,
n-2 resultados
Con las letras ac como primer elementotendremos:
ac, ac, ac, ac, ac, …. n-2 veces
b, d, e, f, g …. n-2 letras
acb, acd, ace, acf, acg,
n-2 resultados
Luego con ad
ad, ad, ad, ad, ad, …. n-2 veces
b,
c, e, f, g …. n-2 letras
adb, adc, ade, adf, adg,
n-2 resultados
………………………………….

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

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Estas permutaciones se repiten tantas veces como en el inciso anterior, por
tanto, existen n(n-1)(n-2)permutaciones ternarias, cuando se dispone de una
colección de n elementos y se toman de tres en tres.
n

6.4 PERMUTACIONES DE N COSAS TOMADAS DE r EN r Pr
Podemos generalizar a través de los incisos anteriores la expresión que
permitirá hallar las permutaciones de n cosas tomadas r a la vez
n
Pr = n(n-1)(n-2)………(n-r+1)
n

6.5 PERMUTACIONES DE N COSAS TOMADAS N A LA VEZ
Si en lafórmula anterior reemplazamos r por n se tiene:
n

Pn = n(n-1)(n-2)………(n-n+1)

n

Pn

Pn = n(n-1)(n-2)………(3)(2)(1)
n

Pn

n!

El número de permutaciones de n cosas tomadas las n a la vez, es igual al
factorial de n.
Ejemplo 1
De cuantas maneras diferentes pueden tres estudiantes sentarse en a) en
cinco pupitres b) en diez pupitres c) en tres pupitres.
5
10
3

P3

5 4 3 60...