Solemne 3 algebra

UNIVERSIDAD ANDRES BELLO
Departamento de Matemáticas
28 de junio de 2008

PAUTA

SOLEMNE Nº 3 DE ÁLGEBRA

FMM 010

1.- Demostrar que la ecuación: [pic] representa una parábola ydeterminar las coordenadas del vértice y del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto.
Desarrollo:
[pic]
Las coordenadas del vértice: [pic] ; las del foco: [pic] , la ecuación de ladirectriz:
[pic] ; LR=12

2.- Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y que pasa por los puntos (0,2) y (7,3) .Desarrollo:
Determínanos la recta que es simetral de los puntos dados, esdecir:
Calculamos el punto medio de los puntos dados ya la recíproca de la pendiente formada por los puntos:
Punto medio: [pic] ; pendiente: [pic]
Ecuación de la simetral: [pic]
Como el centropertenece a la simetral, entonces las coordenadas satisfacen la igualdad, es decir: [pic] y ahora, calculando la distancia del centro a un punto e igualándolo al radio, tenemos: [pic] ahora , reemplazandola ecuación : [pic], tenemos: [pic]
Entonces el centro es: (3,6) o (4,-1) lo que hace concluir que la ecuación puede ser:
[pic]

3.- El centro de una elipse es el punto (-2,-1) y uno de susvértices es el punto (3,-1). Si la longitud de cada lado recto es 4, hallar la ecuación de la elipse, su excentricidad, la longitud de su eje menor y las coordenadas de sus focos.
Desarrollo:
Deacuerdo a los datos del problema, tenemos que el semi eje mayor a es 5 y utilizando la ecuación del lado recto, tenemos:
[pic]

4.- Hallar el término independiente (si es que existe) del desarrollo delbinomio:
Desarrollo:
[pic], como el exponente es impar, tenemos dos términos centrales, entonces, utilizando: [pic]
[pic]

5.- Calcular el valor de la sumatoria:
Desarrollo:
[pic]
[pic]

6.-Los números a, b, c forman una sucesión geométrica y se sabe que [pic].
Si los números: [pic] forman una sucesión aritmética, entonces determine el valor de los números.
Desarrollo:
Definiendo...