Solución de ecuaciones diferenciales.

Métodos numérico
UNIDAD 5


Introducción

Las ecuaciones diferenciales aparecen naturalmente al modelar situaciones físicas en ingeniería, y otras disciplinas, donde hay envueltas razones de cambio de una ó varias funciones desconocidas con respecto a una ó varias variables independientes. Estos modelos varían entre los más sencillos que envuelven una sola ecuación diferencial parauna función desconocida, hasta otros más complejos que envuelven sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas para varias funciones desconocidas. Por ejemplo, la ley de enfriamiento de Newton y las leyes mecánicas que rigen el movimiento de los cuerpos, al ponerse en términos matemáticos dan lugar a ecuaciones diferenciales. Usualmente estas ecuaciones están acompañadas de una condición adicional queespecifica el estado del sistema en un tiempo o posición inicial. Esto se conoce como la condición inicial y junto con la ecuación diferencial forman lo que se conoce como el problema de valor inicial. Por lo general, la solución exacta de un problema de valor inicial es imposible ó difícil de obtener en forma analítica. Por tal razón los métodos numéricos se utilizan para aproximardichas soluciones. En este caso utilizaremos los métodos de Euler y Euler mejorado.

Índice

Unidad 5 Solución de Ecuaciones Diferenciales.
5.1 Métodos de un paso.
5.1.1 Método de Euler y Euler mejorado.
5.1.2 Método de Runge-Kutta.
5.2 Método de pasos múltiples.
5.3 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias.
5.4 Aplicaciones

5.1.1 Método de Euler y Euler mejorado.

MÉTODO DE EULER La idea del método de Euler es muy sencilla y está basada en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado.
Supongamos que tuviéramos la curva solución de la ecuación diferencial y trazamos la recta tangente a la curva en el punto dado por la condición inicial.

Debido a que la recta tangente aproxima a la curva en valores cercanos al punto de tangencia, podemostomar el valor de la recta tangente en el punto  como una aproximación al valor deseado  . 

Así, calculemos la ecuación de la recta tangente a la curva solución de la ecuación diferencial  dada   en el punto  . De los cursos de Geometría Analítica, sabemos que la ecuación de la recta es: 
                                                 
Donde  m  es la pendiente. En este caso, sabemos quela pendiente de la recta tangente se calcula con la derivada:
 
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es: 
 
Ahora bien, suponemos que    es un punto cercano a  , y por lo tanto estará dado como  . De esta forma, tenemos la siguiente aproximación:

De aquí, tenemos nuestra fórmula de aproximación: 
 
Esta aproximación puede ser suficientemente buena, si el valor de h esrealmente pequeño, digamos de una décima ó menos. Pero si el valor de  h es más grande, entonces podemos cometer mucho error al aplicar dicha fórmula. Una forma de reducir el error y obtener de hecho un método iterativo, es dividir la distancia   en  n  partes iguales (procurando que estas partes sean de longitud suficientemente pequeña) y obtener entonces la aproximación en  n  pasos, aplicando lafórmula anterior  n  veces de un paso a otro, con la nueva  h  igual  a  .
En una gráfica, tenemos lo siguiente: 

Ahora bien, sabemos que: 
 
Para obtener    únicamente hay que pensar que ahora el papel de   lo toma el punto, y por lo tanto, si sustituimos los datos adecuadamente, obtendremos que: 
 
De aquí se ve claramente que la fórmula recursiva general, está dada por: 
 
Estaes la conocida fórmula de Euler que se usa para aproximar el valor de   aplicándola sucesivamente desde    hasta   en pasos de longitud  h. 

MÉTODO DE EULER MEJORADO 
Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. 
La fórmula es la siguiente: 
 
Donde
 
Para entender esta...