Solucion metodos numericos

Solución del examen parcial de Métodos numéricos
Problema 1.-
(a) Utilice el método de la potencia inverso para calcular el menor valor propio de la matriz

A=1120 x0=10 , Realice dositeraciones.
Solución:
k | 0 | 1 | 2 |
xk | 10 | 0.5-0.5 | -0.51.5 |
yk | 10 | 1-1 | -0.331 |
uk | 1 | 0.5 | 1.5 |

(b) Demuestre que este algoritmo es convergente
xn+1=12xn+bxn
Solucion:g´x=12(1-bx2)≤1
1-bx2≤1 Convergencia lineal
1-bx2≤12 Convergencia cuadratica
b≤x2
(c) Hacer la función en Matlab que permita como entrada el valor de n (orden de una matriz) y que genere lasiguiente matriz A, el vector x y el producto y=Ax.

A=112132123332114⋯1n12⋯2n⋮⋯⋮42⋮⋮⋮⋮nn2⋯⋮⋯⋮⋮⋯⋮⋯⋯1 x=123⋮n

La función se grabaría como matriz.m. Como variables desalida: y, A, x
Sugerencia: aij =i/j , xi = i.
Solucion:
function [y,A,x]=matriz(n)
A=[];
for i=1:n
A=[A [1:n]'/i];
x=[1:n]';

end
y=A*x;

Problema 2 .-

Utilizando aritmética de cuatrodígitos por redondeo, resolver:

14x2+47.00x-1=0
a) Aplicando la formula convencional
b) Utilizando la formula equivalente x1,2=-2cb±b2-4ac

Determinar los errores absoluto y relativo en cadacaso.
Presente sus cálculos y determine que método de cálculo es el más apropiado tal que permita una aproximación más exacta a las raíces de la ecuación dada.

Solución:

Se tiene A = 0.25, B =47.00, C= -1.00
Se tienen dos formulas

a) x1,2=b±b2-4ac2a b) x1,2=-2cb±b2-4ac

Desarrollando se tiene lo siguiente (redondeado):

x1=0.02127418≈0.0212
x2=-188.2127418≈-188.21
* Calculo con cuatro dígitos por redondeo de la Formula convencional

x1=-47.00+472-40.25(-1.0)2(0.25)=-47.00+22100.50=-47+47.010.50=0.02000x2=-47.00-472-40.25(-1.0)2(0.25)=-47.00-22100.50=-47-47.010.50=-188.0

* Calculo con cuatro dígitos por redondeo de la Formula equivalente

x1=-2(-1.00)47+472-40.25(-1.00)=2.0047.00+2210=2.0047.00+47.01=0.02127...