Solucion Practica

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA FCULTAD DE CIENCIAS ´ ESCUELA DE MATEMATICA

MA-1005 Ecuaciones Diferenciales Segundo Ciclo del 2011

Lista de ejercicios # 1
Conceptos b´sicos y ecuaciones de primer orden a
( 1. P1-I-2006 Muestre que el cambio de variable y = x
′

1+v 1−v

) convierte a la ecuaci´n diferencial o

x2 y − xy = y 2 − x2 en una ecuaci´n diferencial en variables separables yresu´lvala. o e 2. P1-II-2006 Considere la ecuaci´n diferencial 2xy 3 dx + (x2 y 2 − 1) dy = 0. o (a) Muestre que la sustituci´n y = z a transforma la ecuaci´n dada en o o 2xz 3a dx + a(x2 z 3a−1 − z a−1 ) dz = 0. (b) Determine el valor de a tal que la ecuaci´n sea homog´nea. o e (c) Resuelva la ecuaci´n original. o 3. Haga la sustituci´n u = ln y en la ecuaci´n deiferencial y ′ + p(x) y = q(x) y lny, para obtener una o o ecuaci´n lineal de primer orden en u. o Aplique este procedimiento para resolver la ecuaci´n diferencial x y ′ = 2 x2 y + y ln y. o 4. Use la sustituci´n u = x ln y para resolver la ecuaci´n diferencial ( x y + 2 x y ln2 y + y ln y ) dx + o o ( 2 x2 ln y + x ) dy = 0. 5. Muestre que la sustituci´n v = x y permite separar variables en una ecuaci´n diferencial de la forma oo [ f (x) + y g(xy) ] dx + x g(xy) dy = 0. ( ) Use este m´todo para resolver la ecuaci´n diferencial x2 + y sen xy dx + x sen xy dy = 0. e o 6. P1-II-2005 (a) Muestre que el cambio de variables u = yex separa variables en la ecuaci´n diferencial o y dx + (1 + y 2 e2x ) dy = 0, y luego resu´lvala. e (b) Determine la regi´n del plano xy en la cual, para la ecuaci´n dada originalmente, se puedegarantizar o o la existencia y unicidad de las soluciones. 7. P1-I-2010 (a) Determine la regi´n del plano xy en la cual la ecuaci´n diferencial o o √ y ′ = 2 + y − 2x + 3 tiene soluci´n unica para cada punto (x0 , y0 ) de la regi´n. o ´ o 1

(b) La ecuaci´n anterior posee una soluci´n singular. Determ´ o o ınela. ¿Afecta la existencia de tal soluci´n o a la unicidad establecida en el punto anterior?8. P1-RI-2006 Resuelva la ecuaci´n diferencial o
′ y ln y + ey + y ey = −1 y x ′

por medio del cambio z = ln y + ey . o o 9. Resuelva cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan a continuaci´n, efectuando una sustituci´n del tipo indicado: (a) (b) (c) (d) (e) dy = ( x + y + 1)2 dx √ dy = 2+ y −2x+3 dx dy 2x − y = dx x − 2y ( 2x − y − 4 ) dx − ( x − 2y + 1 ) dy = 0 ( 6x + 3y − 5 ) dx −( 2x + y ) dy = 0 haciendo la sustituci´n adecuada. o haciendo la sustituci´n adecuada. o haciendo la sustituci´n o haciendo la sustituci´n o haciendo la sustituci´n o y = vx x = u+ay y = v +b v = 2x + y

(f) ( 2 + 3 x y 2 ) dx − 4 x2 y dy = 0 y3 y − 5 x x (h) ( 1 + x2 y 2 ) y + ( xy − 1 )2 xy ′ = 0 (g) y ′ = 3 10. Obtenga la soluci´n de la ecuaci´n diferencial o o

haciendo la sustituci´n y= v xn o haciendo la sustituci´n o haciendo la sustituci´n o y = z xn u = xy

y dx + x ( ln x − ln y − 1 ) dy = 0 que cumple con la condici´n y(1) = e. o 11. Muestre que la sustituci´n z = ax + by + c transforma la ecuaci´n diferencial o o y ′ = f (ax + by + c) En una ecuaci´n de varibles separadas. Aplique este m´todo para resolver las ecuaciones siguientes: o e y ′ = (x + y)2 12. Considere laecuaci´n diferencial y = f o
′

y ′ = sen2 (x − y + 1) ) .

(

ax + by + h dx + cy + k

(a) Si ac − bd ̸= 0, las rectas ax + by + h = 0 y dx + cy + k = 0 se intersectan en un unico ´ punto ( x0 , y0 ). Muestre que, en ´ste caso, la sustituci´n u = x − x0 y v = y − y0 transforma e o la ecuaci´n en una ecuaci´n homogenea en las variables u y v . o o (b) Cuando ac − bd = 0, pruebe que lasustituci´n z = ax + by da por resultado una ecuaci´n en o o variables separables. (c) Aplique lo anterior para resolver el siguiente par de ecuaciones diferenciales: y′ = 3x − y + 2 6x − 2y 2 y′ = 12x + 5y − 9 −5x − 2y + 3

13. Compru´bese que la ecuaci´n diferencial e o y′ = y f ( xy ) x g( xy )

se convierte en una ecuaci´n de variables separables, mediante la transformaci´n z = xy . o o...