Solucion

SOLUCIÓN SEGUNDO CORTO 1) Plantee una integral que mida el volumen del sólido que se forma debajo de z  x 2  y 2 , arriba del plano x-y yadentro del cilindro x 2  y 2  2 x .

A partir de la gráfica se puede apreciar que el “techo” será constante y siempre será el paraboloide. Laintegral se puede plantear de varias formas:


0

2

1 x 1

2

 1 x 1
2 x  x2
2

x 
2

2

 y 2  dy dx

ó
0

2

 2 xx

x

2

 y 2  dy dx

ó Polares:

Coordenadas

 

 2Cos 2  0  2

 r  r dr d
2

CoordenadasTriples:


0

2

2 x  x2

 2 x  x2



x2  y2

0

dz dy dx

De cualquiera de todas esas formas se podía plantear elvolumen.

2) Evalúe la integral: 0



8

2 y

3

e x dx dy

4

ex NOTA: Un error común que he visto en las papeletas ha sido:  edx  4 x3
x4

4

lo cual es un

grave error. SI ustedes derivan el lado derecho de esa expresión no les dará jamás el lado izquierdo. Dehecho esa integral no se puede integrar, por lo que tenemos que cambiar el orden de los diferenciales y para eso graficamos el área. Al cambiarlos límites de integración la nueva integral será:


0

2

x3

0

e x dy dx

4

La resolución se detalla a continuación:

0

2

x3

0

e x dy dx
4

4

 

2

0 2

e x y   0 x 3e x dx
2
4

x3

0

1 x4 e 4

0

1 16  e  1 4