Soluciones dificiles de calculo, takeuchi

Vol. XIII No 1 Junio (2005) Matemáticas: 15–30

Matemáticas: Enseñanza Universitaria
c Escuela Regional de Matemáticas Universidad del Valle - Colombia

Problemas elementales y soluciones difíciles
Yu Takeuchi
Recibido Nov. 22, 2004 Aceptado Feb. 03, 2005

Resumen Este artículo trata ecuaciones funcionales del tipo f ◦ f = h ◦ f o f ◦ f = cI, donde I es la función identidad, h es unafunción conocida y c es unnúmero real. Las técnicas que se emplena son elementales, aunque los problemas que se resulven no son en modo alguno triviales. Palabras y frases claves: iteraciones, ecuaciones funcionales, involuciones. Abstract The article deals with functional equations of the type f ◦ f = h ◦ f or f ◦ f = cI, where I is the identity function on R, h is a given function and c a realnumber. Although the techniques we use are quite elemental, the problems around these functional equations are by no means trivial. Keywords: Iterations, fuctional equations, involutions. AMSC(2000): Primary 39B22, Secondary 39B12.

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Introducción

Hace unos veinte años un estudiante me preguntó: Profesor, ¿cuál es el problema más difícil del cálculo? No pude contestar a esta pregunta enaquella época, pero desde entonces la pregunta de aquel estudiante siempre ha estado en mi mente. Desde luego que tengo una colección de problemas difíciles del cálculo. Son problemas tradicionales sobre derivadas, integrales, límites y desigualdades que son difíciles de resolver sin utilizar algunos trucos precisos. A mí no me gusta mostrarlos como una respuesta a la pregunta pendiente, pues siempre hetenido el deseo de encontrar los problemas difíciles del cálculo que satisfagan los siguientes criterios: • que sean preguntas fáciles de comprender, • que sean problemas difíciles de resolver, • que los prerrequisitos que no vayan más allá del primer semestre universitario, sin nada de y δ, nada de vecindades, nada de conjuntos abiertos o cerrados, nada de la compacidad ni de recubrimientosabiertos, etc. • que los problemas sean utiles para entender la matemática básica, • que no sean problemas aislados, sino que formen una parte de algún tema más amplio de la matemática.

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Evidentemente, los problemas tradicionales del cálculo no cumplen las condiciones anteriores. Recientemente encontré problemas que posiblemente llenen todos los requisitos mencionados. Acontinuación voy a presentar una serie de problemas del cálculo, que aunque son similares requieren métodos distintos para resolverlos. Curiosamente, no se necesitan conocimientos sobre la derivada, la integral, la regla de L’Hopital o el teorema del valor medio. Los requisitos necesarios son únicamente los conceptos de función de R en R, composición de funciones, límite y continuidad de las funciones,y el teorema del valor intermedio y sus consecuencias. 2 La ecuación f ◦ f = h ◦ f y sus variantes

Dada h : R → R continua, vamos a encontrar todas las funciones f : R → R que satisfacen la ecuación f ◦f =h◦f (1) o sea, f (f (x)) = h(f (x)), para todo x ∈ R. Haciendo el cambio g(x) = f (x) − h(x) se obtiene g(f (x)) = f (f (x)) − h(f (x)) = 0, o sea g(f (x)) = 0, x ∈ R. Sea S = {f (x)|x ∈ R} elrecorrido de la función f . Entonces se tiene que g(x) = 0, x ∈ S. (2)

Sabemos que S es un intervalo o un conjunto unitario puesto que la función f es continua en R. Por lo tanto se presentan los siguientes casos: Caso 1. S es un conjunto unitario. Digamos S = {a}. Debe ser entonces f (x) = a para todo x ∈ R. De la ecuación (1) se tiene que a = h(a); es decir, la constante a debe ser un puntofijo de la función h(x). Caso 2. S = R. En tal caso g(x) = 0 para todo x ∈ R, y de (2) se deduce f (x) = h(x) para todo x ∈ R. Caso 3. S = (−∞, b] ó S = (−∞, b). Aquí se tiene g(x) = 0, esto es, f (x) = h(x) si x ≤ b. Como S = (−∞, b], se tiene que la función f (x) satisface la siguiente condición: f (x) =h(x) si x ≤ b, (3)

x∈R x∈R

inf f (x) = − ∞,

sup f (x) =b.

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