sucesiones

Sucesiones
Por sucesión entendemos un conjunto ordenado de números reales. En cada sucesión encontraremos por tanto una serie de números, cada uno de valor distinto, y que ocupa una posición concreta. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.

Para denotar el n-ésimo elemento de la sucesión se escribe an en lugar de f(n).

Ejemplo:
an = 1/na1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = 1/4, ...

Límite de una sucesión
El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente. Esto significa que eventualmente todos los elementosde la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone es que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite.
Sea L un número real. El límite de una sucesión {an} es L, escrito como:

“Una sucesión {an} converge a un número L si para todo > 0 existe un enteropositivo N tal que | an –1| < siempre que n > N”.
Convergencia y divergencia de un límite
Cuando una sucesión tiene límite finito L se dice que es convergente y converge a L.
La sucesión an = 1/n converge a 0.

Límite=0 límite=1

Una sucesión que tiene límite infinito se llama divergente.
La sucesión an = n2 es divergente.
Límite= ∞

Una sucesión que carece de límite se llamaoscilante.
La sucesión an = sen n es oscilante, pues sus valores varían entre 1 y -1.
1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, …
Uso de la regla de L´Hôpital para determinar la convergencia
En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli, es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.Esto es que se deriva el numerador y denominador de un límite en el cual existe una indeterminación para lograr obtener un límite existente lo cual indicaría que es convergente en el límite de la constante encontrada.
Teorema del encaje o del emparedado para sucesiones
En cálculo, el teorema del emparedado (llamado también teorema de encaje)es un teorema usado en la determinación del límite de unafunción. Este teorema enuncia que si dos funciones tienden al mismo límite en un punto, cualquier otra función que pueda ser acotada entre las dos anteriores tendrá el mismo límite en el punto.El teorema o criterio del sándwich es muy importante en demostraciones de cálculo y análisis matemático. Y es frecuentemente utilizado para encontrar el límite de una función a través de la comparación conotras dos funciones de límite conocido o fácilmente calculable.
Si


y existe un entero N tal que para todo , entonces


Sucesión monótona

Supongamos que a_{n} es una sucesión creciente. Dado que a _{n} es una sucesión acotada. El conjunto S=a_{n}| {n}>= 1 tiene una cota superior. Por el axioma de completez tiene una mínima cota superior L. Dado que ɛ> 0, L -ɛ no es una cota superior deS (pues L es la mínima cota superior).

Estrictamente crecientes: Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor que el anterior. an+1 > an

Crecientes. Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior. an+1 ≥ an

Estrictamente decrecientes. Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesiónes menor que el anterior. an+1 < an

Decrecientes. Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior. an+1 ≤ an




Sucesión acotada
Sucesiones acotadas: Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor...