Sucesiones

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MATEMÁTICA I
Capítulo 3

SUCESIONES
1.1.

Introducción. Nociones básicas.

1. Considere los siguientes números naturales:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13...
a) ¿Los anteriores números tienen un orden especial?
b) ¿Existe un patrón para crear ese orden? ¿Cuál?
c) ¿Qué número seguirá después de 13?
d) ¿Qué número seguirá después de 51?
e ) ¿Qué número existirá antes de 85?

2. Considerela siguiente lista de números reales:

1 1 1 1
1, , , , ,...
2 3 4 5
a) ¿Cuál es el sexto término?
b) ¿Cuál será el décimo término?
c) ¿Existirá algún patrón para crear el orden de la anterior lista de términos?
¿Cuál?
d) Si n representa cualquier número natural. ¿Qué número será el término n?

3. Considere la relación, cuya gráfica es la siguiente:

1

1

2

4

3
4

9
16…

…

Los puntos suspensivos en los conjuntos indican que hay más números, podemos
considerar que ambos conjuntos, son los conjuntos de números naturales.
Decimos que esta relación asigna o hace corresponder, a cada número natural otro
número natural. Podemos indicar que el correspondiente de 1 es 1, el de 2 es 4, y así
sucesivamente.
a) Escriba como parejas ordenadas la anteriorrelación, para los números que se muestran en el
gráfico.
b) ¿Qué número corresponderá al número 6?
c) Si n es cualquier número natural. ¿Cuál será su correspondiente? ¿y del número n+1?

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Definición:
Una sucesión es una relación entre los números naturales y un conjunto A cualquiera,
con la siguiente condición:
A cada natural le corresponde un único elemento del conjunto A.
Si a estarelación la llamamos S, puede expresarse como S : Ν → A , e indicamos sus
elementos:
S(1)= a1
S(2)= a2 …. , donde

a1 , a2 ,… son elementos de A

En general si k es un número natural cualquiera diremos que

ak es el k-ésimo término

de la sucesión, también se lo llama término general de la sucesión. Esta descripción de
término general es porque k está representando un natural cualquiera.Notemos que la elección de la letra k es arbitraria, podemos hablar de an o at y
diremos entonces que es el n-ésimo término o el t-ésimo término respectivamente. Del mismo
modo llamamos “ a ” a los elementos de la sucesión pero podemos elegir cualquier otra letra.
En adelante nos referiremos a la sucesión sólo por los elementos de A con el orden dado
por los números naturales.
En este cursovamos a trabajar con sucesiones tales que el conjunto A de la definición
son los números reales.

Ejemplo 1:
Sea S la sucesión dada por 1,3,5,7,9,….
Diremos que

a1 =1, a2 =3, a3 =5, …

Basta la enumeración en orden de sus elementos para saber a qué natural le corresponde cada
número de la sucesión.
Esta sucesión está formada por los números impares, podemos entonces escribir:
a1 =1=2.1-1

a2 =3= 2.2-1
a3 =5= 2.3-1
…

an =2.n-1
Donde

an es el n-ésimo término o término general.

Ejemplo 2:
Sea H la sucesión dada por 2,4,6,8,10,….
Diremos que

a1 =2, a2 =4, a3 =6, …

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Esta sucesión está formada por los números pares, o múltiplos de 2, podemos entonces
escribir:

a1 =2= 2.1
a2 =4= 2.2
a3 =6= 2.3
…

an =2.n
Encontramos entonces nuevamente el términogeneral .

Diferentes formas de expresar una sucesión.
•

Enumeración de los primeros términos:

Consiste en escribir los primeros términos de la sucesión.
Ejemplos: 1) 2, 4, 6, 8,….
2) 3, 9, 27, 81,….
3) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…
4) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…
•

Forma descriptiva:

Consiste en describir con palabras la ley de formación de la sucesión, en los ejemplos
anteriorespodríamos describir:
1) sucesión de los números pares
2) sucesión de las potencias de 3
3) sucesión formada a partir de la suma de los dos términos anteriores. Esta descripción no
es tan trivial, a veces no resulta tan fácil advertirla. Esta sucesión se conoce con el
nombre de Sucesión de Fibonacci.
4) Sucesión de los números primos.
•

Forma explícita:

Consiste en dar una fórmula que...