Sucesiones

Ciencia…Ahora, Nº 21, año 11, marzo a septiembre 2008

Sucesiones Numéricas
Juan Espinoza Beltrán Facultad de Agronomía –Universidad de Concepción

Una sucesión se puede pensar como una lista de números escritos en un orden definido a1, a2, a3, a4, . .
.,

an, . . .

(1)

a1 es el primer término de la sucesión, a2 es el segundo término de la sucesión y an es el n ésimo término de lasucesión. Una sucesión es infinita si cada término tiene un sucesor, el sucesor de an es an+1. La sucesión se denota utilizando el término enésimo mediante {a n } o {a n }∞=1 n La sucesión de Fibonacci es una secuencia de números enteros descubierta por matemáticos hindúes hacia el año 1135 y descrita por primera vez en Europa gracias a Fibonacci (Leonardo de Pisa) con su problema de la crianza deconejos. La sucesión de Fibonacci se define en forma recurrente mediante las condiciones f 1 = 1 , f 2 = 1 f n = f n −1 + f n − 2 si n ≥ 3 Los primeros términos de la sucesión de Fibonacci son: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . . .

Aparte de que esta sucesión tiene varias propiedades interesantes, Robert Simson (en 1753) descubrió que: f n / f n−1 → φ =(1,618033989 ….) este cuociente tiende a la Relación áurea cuando n tiende a infinito. Lo más curioso de esta sucesión es su presencia en la naturaleza. La sucesión de Fibonacci está muy ligada a la vida y estos hechos lo demuestran: Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que los zánganos, el macho de la abeja, no tiene padre (1), perosí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho tátara tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci. En la mano humana también se encuentra esta recurrencia, la longitud del metacarpo es la suma delas dos falanges proximales y la longitud de la primera falange es la suma de las dos falanges distales.

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Las ramas de los árboles y las hojas de las plantas se distribuyen buscando siempre recibir el máximo de luz para cada una de ellas. Por eso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior. La distribución de las hojasalrededor del tallo de las plantas se produce siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números.

El número de espirales en numerosas flores y frutos también se ajusta a parejas consecutivas de términos de esta sucesión: los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144. Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales. Una representacióngeométrica de la sucesión de Fibonacci se obtiene con la siguiente construcción: Primero se construyen dos cuadrados de lado 1, que tengan un lado en común. Sobre ellos, construye uno de lado 2; a continuación otro que tenga por lado la suma de este último con el anterior. Podemos continuar agregando cuadrados de tal forma que cada uno tenga por lado la suma de los lados de los dos últimoscuadrados dibujados, se invita al lector a realizar la construcción e identificar los términos de la sucesión de Fibonacci. Uniendo dos vértices no consecutivos de los cuadrados obtenidos se obtiene una curva con forma espiral. A continuación se muestran algunos ejemplos de sucesiones
1 2 3 4 n  n  , , , ,..., ,... =   2 3 4 5 n +1  n + 1  n =1
 ( −1) n +1 (n + 1)  2 3 4 (−1) n +1 (n + 1) 5,... es una sucesión de términos con   = ,− , ,− ,..., 3n 3n   3 9 27 81
∞

signos alternados.
(n − 1)π   cos  = 1, 0, − 1, 0,... es una sucesión infinita, cuyos términos son 1, 0,-1y 0. 2  n =1 
∞

Una sucesión f (n) = a n , puede considerarse como una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales, puede ser representada gráficamente como el conjunto de puntos...