Sueños

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´
Analisis Numericos.
Carlos Echeverria
Universidad de ”Los Andes”.
Facultad de Ingenier´a.
ı

20 de septiembre de 2012

Carlos Echeverria

´
´
Analisis Numericos.

Ecuaciones Diferenciales Parciales
Las ecuaciones diferenciles parciales (EDP) de segundo orden
se pueden clasificar en tres tipos:
1

´
Parabolicas

2

El´pticas
ı

3

´
Hiperbolicas

Paradistinguirlas, se condidera la siguiente forma general de
una EDP de segundo orden en dos variables
A

∂ 2φ
∂ 2φ
∂ 2φ
∂φ
∂φ
+B
+C 2 +D
+E
+Fφ = S
2
∂ x∂ y
∂x
∂y
∂x
∂y

donde los A, B , C , D , E , F y S son funciones, y si
1
´
Parabolicas
B 2 − 4AC = 0
2
3

El´pticas
ı
´
Hiperbolicas

B 2 − 4AC < 0
B 2 − 4AC > 0
Carlos Echeverria

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´
Analisis Numericos.Ecuaciones Diferenciales Parciales

Ecuaciones el´pticas en diferencia
ı
Espec´ficamente obtendremos las ecuaciones en diferencias
ı
finitas para la ecuaciones de Poisson en la coordenadas
cartecianas rectangulares
−∇2 φ (x , y ) = S (x , y )
∂ 2 φ (x , y ) ∂ 2 φ (x , y )
−
= S (x , y )
−
∂ x2
∂y2
´
donde S (x , y ) es una funcion dada, la cual recibe el nombre de
´
´
´
termino nohomogeneo (o termino fuente). Consideremos el
dominio definido por 0 ≤ x ≤ xmax , 0 ≤ y ≤ ymax

Carlos Echeverria

´
´
Analisis Numericos.

Ecuaciones Diferenciales Parciales
Supondremos que las condiciones en la frontera son:
Frontera izquierda
Frontera derecha
Frontera inferior
Frontera superior

Carlos Echeverria

∂φ
∂x

= 0 (tipo Neumann)

φ =0
∂φ
∂y

(tipo Dirichlet)=0

φ =0

´
´
Analisis Numericos.

Ecuaciones Diferenciales Parciales
Aplicando diferencias centrales
φi −1,j − 2φi ,j + φi +1,j
∂ 2φ
=
2
∂x
∆x 2
´
y de manera analoga
φi ,j −1 − 2φi ,j + φi ,j +1
∂ 2φ
=
∂y2
∆y 2
sustituyendo
−φi −1,j + 2φi ,j − φi +1,j −φi ,j −1 + 2φi ,j − φi ,j +1
+
= Si ,j
∆x 2
∆y 2
donde Si ,j = S (xi , yj ).
Carlos Echeverria

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AnalisisNumericos.

Ecuaciones Diferenciales Parciales

Carlos Echeverria

´
´
Analisis Numericos.

Ecuaciones Diferenciales Parciales
Si consideramos la frontera inferior
∂ 2φ
∂y2

∂φ
∂y

∂φ
∂y

=
i ,1

=
i ,1+1/2

∂ 2φ
∂y2

i ,1+1/2
∆y
2

φi ,2 − φi ,1
∆y

=
i ,1

Carlos Echeverria

−

∂φ
∂y

y

i ,1

∂φ
∂y

2φi ,2 − 2φi ,1
∆y 2

´
´
AnalisisNumericos.

=0
i ,1

Ecuaciones Diferenciales Parciales
Al sustituir
−φi −1,1 + 2φi ,1 − φi +1,1 −2φi ,2 + 2φi ,1
+
= Si ,1
∆x 2
∆y 2
En la frontera izquierda

∂ 2φ
∂ x2

∂φ
∂x

=
1,j

1+1/2,j
∆x
2

−

∂φ
∂x

1,j

=

2φ2,j − 2φ1,j
∆x 2

−2φ1,j − 2φ2,j −φ1,j −1 + 2φ1,j − φ1,j +1
+
= S1,j
∆x 2
∆y 2
Para el punto de la esquina
−2φ1,1 − 2φ2,1 −2φ1,1 − 2φ1,2+
= S1,1
∆x 2
∆y 2
Carlos Echeverria

´
´
Analisis Numericos.

Ecuaciones Diferenciales Parciales

Carlos Echeverria

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Analisis Numericos.

Ecuaciones Diferenciales Parciales

Carlos Echeverria

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Analisis Numericos.

Ecuaciones Diferenciales Parciales

Carlos Echeverria

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Analisis Numericos.

Ecuaciones Diferenciales Parciales

Carlos Echeverria´
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Analisis Numericos.

Ecuaciones Diferenciales Parciales
´
El numero de elementos nulos crece rapidamente junto con el
´
numero total de puntos en la ret´cula.
ı
´
Las condiciones en la frontera son, a menudo, de tipo mixto.
∂φ
+ αφ = β
∂n
donde α y β son constantes
∂
∂
=−
∂n
∂x
∂
∂
=
∂n ∂y
∂
∂
=
∂n ∂x
∂
∂
=−
∂n
∂y

para la frontera izquierda
para lafrontera superior
para la frontera derecha
para la frontera inferior

Carlos Echeverria

´
´
Analisis Numericos.

Ecuaciones Diferenciales Parciales
´
´
Si la condicion de frontera esta dada por la mixta ,
´
aproximamos el segundo termino como

∂ 2φ
∂y2

∂φ
∂y

=

=

∂φ
∂y

i ,J −1/2

∆y /2

i ,J

=

i ,J

−

(−αφi ,J + β ) − (φi ,J − φi ,J −1 )/∆y
∆y /2...