Sumas

3

POLINOMIOS
Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

P ágina 66
PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
Múltiplos y divisores
1. Haz la división:
x 3 – 4x 2 + 5x – 20 |x 2 + 5
A la vista del resultado, di dos divisores del polinomio x 3 – 4x 2 + 5x – 20.
(x 3 – 4x 2 + 5x – 20) : (x 2 + 5) = x – 4
Los polinomios x – 4 y x 2 + 5 son dos divisores de x 3 – 4x 2 + 5x – 20.
2. Al multiplicar x 2 – 5x + 4por x, obtenemos x 3 – 5x 2 + 4x.
Por tanto, podemos decir que el polinomio x 3 – 5x 2 + 4x es múltiplo de
x 2 – 5x + 4.
Procediendo análogamente, di otros dos múltiplos de x 2 – 5x + 4, uno de tercer grado y otro de cuarto grado.
• De tercer grado: Por ejemplo (x 2 – 5x + 4) · (x – 1) = x 3 – 6x 2 + 9x – 4
• De cuarto grado: Por ejemplo (x 2 – 5x + 4) · x 2 = x 4 – 5x 3 + 4x 2

Página 67Descomposición en factores
3. Comprueba, efectuando las divisiones, la validez de las siguientes descomposiciones:
a) x 5 – x 3 = x 3 (x + 1) (x – 1)
b) x 5 + x 3 = x 3 (x 2 + 1)
x5 – x3
0

x
x4 – x2
0

x
x3 – x
0

x
–1
x2
2–x
–x
–x – 1
x+1
0

Unidad 3. Polinomios y fracciones algebraicas

x+1
x–1
0

x–1
1

1

Por tanto: x 5 – x 3 = x · x · x · (x + 1) · (x – 1)= x 3 (x + 1)(x – 1)
x5 + x3
0

x
x4 + x2
0

x
x3 + x
0

x
x2 + 1
0

x2 + 1
1

Por tanto: x 5 + x 3 = x · x · x · (x 2 + 1) = x 3 (x 2 + 1)
Fracciones algebraicas
4. Simplifica las siguientes expresiones:
2
3
a) 12a b c
3ab 2c 2

d)

14x 2 – 7x
7x

2
b) 5x y z
20x 2 z

4x 2 – 9
– 12x + 9

4x 2

c)

2
e) 2x – 6x
6x 2 – 54

2
f ) x + 18x + 81
x 2 –81

2
3
4ac
a) 12a b c =
b
3ab 2c 2

b)

5xyz2
20x2z

=

yz
4x

2
2
7x
c) 14x – 7x = 14x –
= 2x – 1
7x
7x
7x

d)

2x + 3
4x 2 – 9
= (2x + 3)(2x – 3) =
2x – 3
– 12x + 9
(2x – 3)2

4x 2

2
2x (x – 3)
x
x
e) 2x – 6x =
=
=
6(x – 3)(x + 3)
3(x + 3)
3x + 9
6x 2 – 54
2
x+9
(x + 9)2
f ) x + 18x + 81 =
=
2 – 81
(x – 9)
(x + 9) · (x – 9)
x

P ágina69
1. Calcula:
a) (x 2 + x + 1) · (x + 1)

b) (3x 3 – 5x 2 + 2x – 3) · (x 2 – 2x – 3)

c) (x 3 – 3x + 1) · (x 2 + 2x – 1)

d) (x 4 – 3x 3 + x 2 + 1) · (2x 3 + x – 2)

a)

x2 + x + 1

b)

3x3 – 5x2 + 2x – 3

x +1

x2 – 2x – 3

x2 + x + 1

–9x3 + 15x2 – 6x + 9

x3 + x2 + x
x3 + 2x2 + 2x + 1

–6x 4 + 10x 3 – 4x2
3x 5 – 5x 4 + 2x 3 – 3x 2
3x 5 – 11x 4 + 3x 3 + 8x 2Unidad 3. Polinomios y fracciones algebraicas

+6
+9

2

x3

c)

– 3x + 1

x 4 – 3x 3 + x 2

d)

x 2 + 2x – 1
–x 3
2x 4
x5

2x 3

–

+x –2

– 2x 4 + 6x 3 – 2x 2

+ 3x – 1
6x 2

+1

x5

+ 2x

– 3x 3 + x 2

–

3x 4

2x 7 – 6x 6 + 2x 5

x 5 + 2x 4 – 4x 3 – 5x 2 + 5x – 1

+

x3

–2
+x

+ 2x 3

2x 7 – 6x 6 + 3x 5 – 5x 4 + 9x 3 – 2x 2 + x – 22. Calcula:
a) (x 2 + x + 1)2

b) (2x 2 – 3x + 5)2

c) (x – 1)2

d) (x + 1)3

e) (3x 2 – x + 2) (–x – 2) x

f ) (x 2 + 3x) (x 2 – 3x)

a)

x2 + x + 1

2x 2 – 3x + 5

b)

x2 + x + 1

2x 2 – 3x + 5

x2 + x + 1

10x 2 – 15x + 25

x3 + x2 + x

– 6x 3 + 9x 2 – 15x

x4 + x3 + x2

4x 4 – 6x 3 + 10x 2

x 4 + 2x 3 + 3x 2 + 2x + 1

4x 4 – 12x 3 + 29x 2 – 30x + 25

c)(x – 1) 2 = x 2 – 2x + 1
d) (x + 1) 3 = (x + 1) 2 (x + 1) = (x 2 + 2x + 1) (x + 1)
x 2 + 2x + 1
x+1
x2

+ 2x + 1

x 3 + 2x 2 + x
x 3 + 3x 2 + 3x + 1
e) (3x 2 – x + 2)(– x – 2) x = (3x 2 – x + 2)(–x 2 – 2x)
3x 2 – x + 2
– x 2 – 2x
–6x 3 + 2x 2 – 4x
–3x 4 + x 3 – 2x 2
–3x 4 – 5x 3

– 4x

f) (x2 + 3x)(x2 – 3x) = x4 – 9x2
Unidad 3. Polinomios y fracciones algebraicas

3

3. Unpolinomio A (x) es de tercer grado y un polinomio B (x) es de segundo
grado. ¿Cuál es el grado del polinomio A (x) · B (x)?
A (x) · B (x) es de quinto grado.
4. Completa estas multiplicaciones:
s x3 + s x2 + s x + s

a)

b)

s x2 + s x + s

x 2 – 2x – 1
s

x3

+s

x2

sx+ s

+sx+s

s

s x4 + s x3 + s x2 + s x

– 21x + s

s x 3 + 7x 2 + s x

s x5 + s x4 + s x3 +...