Superficies cuadraticas

UNIVERSIDAD DE ORIENTE
NÚCLEO ANZOATEGUI
UNIDAD DE CURSOS BÁSICOS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
CATEDRA: MATEMATICAS III


SUPERFICIES

Prof:
LAREZ M GLENIS J

Roger Marcano CI 19 717 781
Ledwin Castillo CI 19 330 172

Superficies en el espacio
Superficies cilíndricas: las primeras cinco secciones de este capitulo estudiaban los preliminares vectoriales necesarios para afrontar elcalculo vectorial y el calculo en el espacio. En esta sección y la siguiente estudiaremos superficies y sistemas de coordenadas alternativos en e l espacio. Ya conocemos dos tipos especiales de superficies.
Esferas: ( x - xO )2 + (y – yo)2 + (z – zo)2 = r2
Planos: ax + by + cz + d = 0
Un tercer tipo lo constituyen las superficies cilíndricas (o simplemente cilindros). Para definir lo que seentiende por un cilindro en general, consideremos el cilindro recto circular . Podemos generar este cilindro generado por una recta vertical que se mueve alrededor del circulo X2 + y2 = a2 del plano xy. Este círculo se llama la curva directriz (o curva generatriz) del cilindro, como se especifica en la próxima definición.

DEFINICION DE LOS CILINDROS
Sea una C una curva en un plano y L unarecta no paralela a ese plano. El conjunto de todas las rectas paralelas a L que cortan a C se llama un cilindro de curva directriz C. Cada una de esas rectas paralelas se llama una recta generatriz del cilindro.
Nota: se puede suponer, sin perdida de generalidad, que C esta en uno de los planos de coordenadas. Más aun, en este libro restringiremos nuestra atención a los cilindros rectos, esdecir, cilindros cuyas rectas generatrices son perpendiculares al plano de coordenadas que contiene a C, como ilustra la siguiente figura:

Para el cilindro circular recto la ecuación de la curva directriz es
X2 + y2 = a2 ECUACION DE UN CILINDRO EN EL PLANO xy
Para hallar una ecuación del cilindro observamos que cualquiera de larectas generatrices se puede seleccionar fijando valoresde x e y. Y haciendo variar z por toda la recta real. En este sentido, el valor de z es arbitrario y, en consecuencia, no aparece en la ecuación. En otras palabras, la ecuación de ese cilindro coincide con la de su curva directriz
X2 + y2 = a2 ECUACION DE UN CILINDRO EN EL ESPACIO
ECUACION DE UN CILINDRO
La ecuación de un cilindro cuyas rectas generatrices son paralelas a unode los ejes de coordenadas contiene solamente las variables correspondientes a los otros dos ejes.

Ejemplo:

Dibujar un esbozo de la superficie dada por cada una de las ecuaciones siguientes
a)z=y2 b) z= sen x c)≤ x ≤ 2π
Solución:
Es la grafica de un cilindro cuya curva directriz z=y2, es una parábola en el plano yz. Sus rectas generatrices son paralelas al eje x (figura 10;58a)Es la grafica de un cilindro cuya curva es la curva seno en el plano xz. Sus generatrices son paralelas al eje y (figura 10.58b)

Superficies cuadráticas

El cuarto tipo básico de superficies en el espacio lo constituyen las superficies cuadráticas, análogo tridimensional de las secciones cónicas.

Superficies cuadráticas
La ecuación de una superficie cuadrática en el espacio es unaecuación de segundo grado de la forma

Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Hay seis clases de cuadráticas: elipsoide, hiperboloide de una hoja, hiperboloide de dos hojas, cono elíptico, paraboloide elíptico y paraboloide hiperbólico.

La intersección de una superficie con un plano se llama la traza de la superficie en ese plano. Para visualizar una superficie en elespacio es conveniente determinar de antema sus trazas con planos elegidos. Las trazas de las superficies cuadráticas son cónicas. Estas trazas, junto con la forma canónica de la ecuación de cada cuadrática se muestran en las siguientes páginas.
Para clasificar una cuadráticas, empezaremos escribiendo su ecuación en forma canoníca y seguiremos hallando sus trazas en los planos de coordenadas o en...