Superficies en el espacio

ESFERA
Una esfera, en geometría, es un cuerpo sólido limitado por una superficie curva cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro de la esfera. También se denomina esfera, o superficie esférica, a la conformada por los puntos del espacio tales que la distancia (llamada radio) a un punto denominado centro, es siempre la misma.
La esfera, como sólido de revolución, se genera haciendogirar una superficie semicircular alrededor de su diámetro.
En un sistema de coordenadas cartesianas en un espacio euclídeo tridimensional, la ecuación de la esfera unitaria, con centro en el origen, es:
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Esta ecuación se obtiene considerando que en el punto M (x, y, z) de la esfera, el vector normal OM es igual a 1.
Generalizando, la esfera de radio r, de centro Ω (a, b, c) tiene comoecuación:
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La ecuación del plano tangente en el punto M (x', y', z') se obtiene mediante el desdoblamiento de las variables: en el caso de la esfera unitaria:
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y en el segundo ejemplo:
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Se elige un ecuador y un punto I del mismo como origen de los ángulos horizontales; se escoge una orientación del ecuador para definir el signo del ángulo φ; se escoge uno de los dos puntos dela esfera más distantes del ecuador –llamados polos, K en la figura para definir el signo del ángulo θ.

Todo punto de la esfera está localizado de manera inequívoca por los dos ángulos θ y φ. Este resultado es muy intuitivo: con un ángulo sobre el plano horizontal (plano del ecuador) y otro vertical (hacia un polo) desde el punto I, se puede localizar cualquier punto de la esfera.
Introducirel tercer parámetro r = OM permite localizar cualquier punto del espacio con las coordenadas esféricas (r, φ, θ). Si se impone tomar φ en un intervalo semi-abierto de longitud 2π y θ en uno de longitud π, entonces, cualquier punto del espacio tiene coordenadas esféricas únicas, salvo los del eje vertical (OK) (donde cualquier valor de φ vale).
Las coordenadas cartesianas (x, y, z) en el sistema decoordenadas (0, I, J, K) vienen dadas por:
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Recíprocamente, a partir de las coordenadas cartesianas, se obtienen las esféricas con las fórmulas:
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CILINDROS
Un cilindro es una figura geométrica limitada por una superficie cilíndrica cerrada lateral y dos planos que la cortan en sus bases. Como cuerpo de revolución, se obtiene mediante el giro de una superficie rectangularalrededor de uno de sus lados.
El cilindro es un cuerpo geométrico redondo limitado por una superficie cilíndrica y dos bases planas paralelas. Puede ser:
• cilindro recto: si el eje del cilindro es perpendicular a las bases,
• cilindro oblicuo: si el eje no es perpendicular a las bases,
• cilindro de revolución: si está limitado por una superficie cilíndrica de revolución.
ocilindro de revolución recto: si el eje es perpendicular a las bases,
o cilindro de revolución oblicuo: si el eje no es perpendicular a las bases
La superficie cilíndrica está conformada por rectas paralelas, denominadas generatrices, las cuales contienen los puntos de una curva plana, denominada directriz del cilindro. Como superficie de revolución, la superficie lateral cilíndrica seobtiene mediante el giro de una recta alrededor de un eje. La superficie del cilindro es una superficie reglada; pertenece a las denominadas superficies cuádricas.
Las superficies cilíndricas pueden ser
• superficie cilíndrica de revolución: si todas las generatrices equidistan de un eje, paralelo a ella,
• superficie cilíndrica de no revolución: si no existe un eje que equidiste de lasgeneratrices.
Las secciones cónicas son de tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas, que sirviendo de directrices, originan tres tipos de superficies cilíndricas:
Cilindro elíptico

Tomando como directriz una elipse, se puede generar una superficie cilíndrica elíptica (que incluye a los cilindros circulares, cuando los semiejes de la elipse son iguales).
En un sistema ortogonal de...