Superficies esfericas

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  • Publicado : 2 de diciembre de 2010
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PRESENTACION
El presente informe esta basado en el aprendizaje de la geometría analítica, específicamente de superficies esféricas y cuerpos cilíndricos donde se ha tenido por conveniente mencionar su respectiva teoría y reforzarlo con el desarrollo de ejercicios buscando en el raciocinio la forma más adecuada para actuar ante la solución de los mismos como metodología para una mejorasimilación de dichos temas.
El desarrollo del trabajo a presentar es propicio para la búsqueda de nuevas habilidades propias del alumno que contribuirán en la formación académica.





DEDICATORIA

Al conjunto de docentes que con sus sabios conocimientos se sienten comprometidos en la formación de profesionales de buen nivel y quegeneración a generación ello perdura como parte del desarrollo tanto laboral como social en busca de mejores perspectivas para nuestras vidas.

SUPERFICIES ESFERICAS

* La superficie esférica se define como el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de un punto fijo. La distancia constante se llama RADIO y el punto fijo CENTRO.
La ecuación de la superficie esférica cuyocentro es el punto (h, k, l)y cuyo radio es la constante “r” es : (x - h)2 + (y - k)2 + (z - l)2 = r2…(1)
La superficie esférica cuyo centro es el origen y cuyo radio es la contante “r” tiene por ecuación: x2 +y2 + z2 = r2.
La ecuación (1) se conoce como la forma ordinaria de la ecuación de la esfera. Si desarrollamos esta ecuación y ordenamos los términos, tenemos una ecuación de la forma:
x2+y2 + z2 +Gx + Hy + Iz + K = 0… (2).
La ecuación (2) es la llamada forma general de la ecuación de la esfera. Contiene cuatro constantes arbitrarias independientes; por tanto , una superficie esférica queda perfectamente determinada por cuatro condiciones independientes. Asi, por ejemplo, cuatro puntos no coplanares determinan una superficie esférica.

* COORDENADAS ESFERICAS:
Sea P( x, y,z) fig. 01, un punto cualquiera de una superficie esférica de centro en el origen y de radio “r”. la ecuación de la superficie es evidentemente: x2 +y2 + z2 = r2…(1).

La porción de la esfera comprendida entre el primer octante aparece en la fig. 01. Por el punto P y el eje Z pasa un plano que corta al plano XY en la recta l . Denotemos por θ el ángulo formado por l y la parte positiva deleje X, y por Ø el formado por el radio OP y la parte positiva del eje Z. designemos por P’, A, B y C, respectivamente, las proyecciones del punto P sobre el plano XY y sobre los ejes X, Y y Z. sea lOP'l = lCPl = s.
Del triangulo rectángulo OPC tenemos: s = r sen Ø.
De los triángulos rectángulos:
OAP’, OBP’ y OP’P, tenemos, respectivamente:
X= s cos θ = r sen Ø .cos θ
Y = s sen θ = r sen Ø.Sen θ.
Z = P'P = r sen (90 - Ø) = r cos Ø… (2)
Para que las coordenadas esféricas (r, Ø, θ) representan un punto único en el espacio, restringimos sus valores a los intervalos: r ≥ 0 , 0≤ Ø≤ π , 0 ≤ θ< 2 π.
Eliminando Ø y θ de las relaciones (2), obtenemos la ecuación (1). Como el radio r de una esfera dada es una constante fija, vemos que las relaciones (2) son la ecuaciones perimétricasde una superficie esférica de centro el origen y radio r , siendo la variables Ø y θ los parámetros.

Las relaciones (2) pueden emplearse como ecuaciones de transformación entre los sistemas coordenados rectangular y esférico. Si despejamos r, Ø, θ, obtenemos.
r=x2 +y2 + z2 , Ø = arc cos z x2 +y2 + z2 , θ = arc tg yx …(3)
los cuales pueden emplearse tambien como ecuaciones detransformacion entre los dos sistemas.
Los resultados precedentes se resumen en el siguiente:
Las coordenadas rectangulares (x, y, z) y las coordenadas esféricas(x, y, z) y las coordenadas esféricas (r, Ø, θ) de un punto en el espacio están ligadas por las relaciones:

X = r sen Øcosθ, y = rsen Øsen θ, z = r cos Ø

Las transformaciones entre los dos sistemas coordenados pueden efectuarse por...
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