Superficies

Estudio de Curvas y Superficies
Ecuaciones de superficies:
La superficie más simple ya ha sido motivo de nuestro estudio y ella es el plano. La
ecuación del mismo, referido a un sistema de coordenadas cartesiano ortogonal, es
lineal en las variables x; y y z, es decir :
Un punto P(x,y,z)∈ π ⇔ ax+by+cz+d=0 (1)
siempre que el vector normal al plano π sea de componentes (a,b,c) y el punto depaso
del plano sea P0(x0,y0,z0).
La ecuación (1) puede escribirse, generalizando de la siguiente manera:
F(x,y,z)=0

(2)

donde F es una función de tres variables, que en caso del plano es: ax+by+cz+d
Bajo estas hipótesis, cualquier punto del plano P1(x1,y1,z1) deben satisfacer tanto la
ecuación (1) como la ecuación (2) o sea que se cumplirá:
ax1+by1+cz1+d=0 o lo que es lo mismoF(x1,y1,z1)=0
Generalizando: llamaremos ecuación de una superficie a la relación que involucra las
coordenadas de un punto genérico de la misma. Si esta relación es de la forma
F(x,y,z)=0, la superficie se podrá caracterizar como el lugar geométrico de puntos del
espacio:
S={P(x,y,z) / F(x,y,z)=0}
Para obtener la ecuación de una superficie, llamaremos (x,y,z) a las coordenadas de un
punto de lamisma y las ligaremos a las condiciones que representen que efectivamente
dicho punto pertenezca a la superficie definida.
Es posible definir una superficie dando una propiedad que es cumplida por todos sus
puntos, o también como el movimiento de una recta en el espacio sujeto a ciertas
condiciones.
Ejemplos:
1) Estudiaremos la superficie. S={P(x,y,z) / z2=9}
la ecuación de la superficie esentonces z2 – 9 =0 ∀x, ∀y dicha ecuación se puede
descomponer de la siguiente manera: (z-3).(z+3)=0 Luego podemos caracterizar así:
S={P(x,y,z) /( z –3).(z+3)=0}= {P(x,y,z) / z -3=0}∪ {P(x,y,z) / z+3=0}
Es decir la superficie S está formada por dos planos paralelos al plano coordenado xy
2) Estudiar la superficie siguiente: S={P(x,y,z) / y2+ y - 6=0} . La ecuación y2+ y - 6=0
tiene por raícesy1=2 ; y2=-3. Luego, podemos escribir: y2+ y - 6= (y – 2).(y+3)=0
luego
S={P(x,y,z) / y2+ y - 6=0} ={P(x,y,z) / (y-2)=0}∪ {P(x,y,z) / (y+3)=0}
Es decir dos planos paralelos al plano xz.
Observación: si la ecuación igualada a cero no tiene raíces reales, diremos que el lugar
geométrico es vacío.
Superficies cilíndricas
Una superficie cilíndrica es la superficie generada por una recta, llamadageneratriz
que se desplaza manteniéndose paralela a un eje coordenado y apoyándose en una
Esp. Lic. Ana María Vozzi

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curva Γ contenida en el plano coordenado perpendicular al eje que contiene a la recta
generatriz, a tal curva se la llama directriz.
Supongamos que la ecuación de la directriz : f(x,y)=0 (en el plano xy) .a la que
llamamos con anterioridad Γ y sea la recta generatrizparalela al eje z
Podemos expresar la superficie como:
S={P(x,y,z) / f(x,y)=0 ∀z}
Donde la ecuación la función f(x,y)=0 es la ecuación de la superficie y es válida ∀z .
De la misma forma podemos definir una superficie cilíndrica con directriz g(x,z)=0
y de generatriz paralela al eje y. Así como también una superficie con generatriz
h(y,z)=0 y generatriz paralela al eje x.
Ejemplo 3:
Elplano π={ P(x,y,z) / ax+by+d=0 ; ∀z } es un caso particular de superficie
cilíndrica cuya directriz es la recta: ax+by-d=0 y de generatriz paralela en al eje z

Z

ax+by=d; z=2

ax+by=d; z=1

y
ax+by=d; z=0

x

Ejemplo 4:
La ecuación z2=2py representa una parábola en el plano yz , cuya generatriz es
paralela al eje x

z

6
5
z
4
3
2
-2

2
1
0 y
-1

x

-1

0
x1
2 -2

y

Esp. Lic. Ana María Vozzi

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Superficies cónicas
Una superficie cilíndrica es la superficie generada por una recta, llamada generatriz
que gira de manera que uno de sus puntos llamado vértice V que es fijo y apoyándose
en una curva Γ que no contiene al vértice, a tal curva se la llama directriz.
Supongamos que la ecuación de la directriz sea: f(x,y)=0 (en el plano xy)...