Superficies

Cap´tulo 1 ı

Superficies

1 Superficies de revoluci´ n o

Definici´ n 1.1. Supongamos el espacio tridimensional R 3 dotado del sistema o de coordenadas (x, y, z). Una superficie de revoluci on en este espacio es una ´ superficie generada al rotar una curva plana C alrededor de alg´ n eje que est´ u a en el plano de la curva.

Un caso particular es cuando el eje de rotaci´ n es alguno de losejes coordenados y o la curva C est´ sobre alguno de los planos coordenados. a Ejemplo 1.1. Si el eje de rotaci´ n es el eje z y la curva plana C est´ sobre el plano o a xz con ecuaci´ n: o z = f (x) (1) tal que f es una funci´ n biyectiva definida solo para x ≥ 0, entonces la ecuaci´ n de o o o a o la superficie Σ de rotaci´ n tendr´ ecuaci´ n: z = f ( x2 + y2 ) (2)

Para deducir la ecuaci´ nanterior, tomemos dos puntos A y B sobre la superficie Σ o y un tercer punto M sobre el eje z. El punto A es un punto arbitrario de la superficie. Consideremos la circunferencia α que contiene al punto A, tiene centro en el punto M y est´ sobre el plano z = z 1 . Esta circunferencia corta el plano xz en el punto a B. Por lo tanto las coordenadas de los puntos son: A(x, y, z 1 ), B(x, 0, z1 ), C(0, 0, z1). Pero el punto B pertenece a la generatriz C, por lo tanto sus coordenadas las podemos escribir como B( f −1 (z1 ), 0, z1 ). Ahora la distancia entre A y M es la misma que entre B y M pues son dos radios de la circunferencia.

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    A(x, y, z1 ) B( f −1 (z1 ), 0, z1 ) =⇒ |AM| = |BM| =⇒   M(0, 0, z1 ) x2 + y2 = [ f −1 (z1 )]2 =⇒ z1 = f x2 + y2 (3)

Pero A es arbitrario, por lotanto z 1 = z. Observemos que en la deducci´ n de la o f´ rmula anterior las variables x, y e z se colocan cuando esto se puede en t´ rmino de o e a la variable fijada z1 , que es la que define el plano z = z 1 donde est´ la circunferencia α. Ejemplo 1.2. Si el eje de rotaci´ n es el eje x y la curva plana C est´ sobre el plano o a xz con ecuaci´ n: o z = f (x) (4) tal que f es una funci´ nbiyectiva definida solo para x ≥ 0, entonces la ecuaci´ n de o o la superficie Σ de rotaci´ n tendr´ ecuaci´ n: o a o [ f (x)]2 = y2 + z2 (5)

Similarmente como en el ejemplo 1.1, tomamos el plano x = x 1 , perpendicular al eje de rotaci´ n x, y tres puntos sobre este plano que pertenecen a la circunferencia o α con centro en M(x 1 , 0, 0) y que contiene los puntos A(x 1 , y, z) y B(x1 , 0, z). Dado queB pertenece a la curva generatriz C, sus ordenadas son B(x 1 , 0, f (x1 )).    A(x1 , y, z)  B(x1 , 0, f (x1 )) =⇒ |AM| = |BM| =⇒   M(x1 , 0, 0) y2 + z2 = [ f (x1 )]2 (6)

La hip´ tesis que A es arbitrario, completa la demostraci´ n. o o El C ATENOIDE es una superficie de revoluci´ n obtenida al rotar sobre el eje x o la curva z = cosh x, y la ecuaci´ n que la representa es: y 2 + z2 =cosh2 x. Una parao metrizaci´ n usada para graficarla con el software Maple es: x = u, y = cosh u cosv, o z = coshu sin v, con valores de los par´ metros −2 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 2π . Los ejes a coordenados est´ n colocados en forma est´ ndar. (Ver: C.9.3). a a

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2.4 0.4

El C ATENOIDE, superficie de revoluci´ n obtenio da al girar la curva catenaria z = cosh x, sobre el plano xz, alrededor del ejex.

-1.6 -3.6 -3.6 0.4 0 2 -2

Figura 1 Catenoide

Ejemplo 1.3. Encuentre la ecuaci´ n de la superficie al rotar la recta x = 3y alrededor o del eje x. ´ S OLUCI ON . Debido a la rotaci´ n sobre el eje x las trazas sobre el plano xy (intersecciones de la o superficie que debemos hallar con el plano xy (z = 0)), deben ser el par de rectas y = ±3x. Este par de ecuaciones se pueden escribir comouna sola ecuaci´ n y 2 = o 2 1 x . Lo cual es equivalente a decir 3 Trazas sobre el planoxy =⇒ y 2 − 1 x 3
2

=0

(7)

Esto mismo debe ocurrir sobre el plano xz. Por lo tanto, Trazas sobre el planoxz =⇒ z 2 − 1 x 3
2

=0

(8)

Las trazas sobre los planos paralelos al plano yz, es decir intersecciones de la superficie con el plano x = a = const., deben ser circunferencias con radio y...