Sólido de revolución
Páginas: 14 (3325 palabras)
Publicado: 11 de febrero de 2011
Sólido de revolución
Un volumen con forma de toro se obtiene por la rotación de un círculo.
Se denomina sólido de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, la cual puede o no intersectar a la región. Dicha recta se denomina eje de revolución.
Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada enla figura rota alrededor del eje X, está genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.
Rotaciones alrededor de los ejes cartesianos
El volumen de los sólidos generados por revolución alrededor de los ejes cartesianos se pueden obtener mediante las siguientes ecuaciones.
Rotación paralela al eje de abscisas (eje x)
El volumen de un sólido generado por el giro de un áreacomprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, un recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica:
En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por lafórmula:
método de discos.
Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)
Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes de sólidos generados por el giro de un área comprendida entre dos gráficas cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b] alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante. La fórmula general del volumen de estossólidos es:
Esta fórmula se simplifica si giramos figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por:
Método de cilindros o capas.
Teorema del centroide de Pappus
El teorema del centroide de Pappus o teorema de Pappus–Guldinus, afirma que el área A de una superficie de revolución generada por rotación de unacurva C alrededor de un eje en el mismo plano es igual al producto de la longitud del arco s de C y la distancia d hasta su centro geométrico.
Por ejemplo, el área superficial de un toroide con radio menor r y mayor R es
Localización de un punto en coordenadas polares.
El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano sedetermina por un ángulo y una distancia.
De manera más precisa, todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r, θ) donde r es la distancia del punto al origen o polo y θ es el ángulo positivo en sentido antihorario medido desde el eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). La distancia se conoce como la «coordenada radial» mientras que el ángulo es la «coordenada angular»o «ángulo polar».
En el caso del origen de coordenadas, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).
Representación de puntos con coordenadas polares
Los puntos (3,60º) y (4,210º) en un sistema de coordenadas polares.
En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro dereferencia (punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para referenciar un punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL.
* El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL.
* El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un ángulo de 210º sobre OL.Un aspecto importante del sistema de coordenadas polares, que no está presente en el sistema de coordenadas cartesianas, es que un único punto del plano puede representarse con un número infinito de coordenadas diferentes. Se puede decir entonces que en el sistema de coordenadas polares no hay una función biyectiva entre los puntos del espacio y las coordenadas. Esto ocurre por dos motivos:...
Un volumen con forma de toro se obtiene por la rotación de un círculo.
Se denomina sólido de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, la cual puede o no intersectar a la región. Dicha recta se denomina eje de revolución.
Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada enla figura rota alrededor del eje X, está genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.
Rotaciones alrededor de los ejes cartesianos
El volumen de los sólidos generados por revolución alrededor de los ejes cartesianos se pueden obtener mediante las siguientes ecuaciones.
Rotación paralela al eje de abscisas (eje x)
El volumen de un sólido generado por el giro de un áreacomprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, un recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica:
En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por lafórmula:
método de discos.
Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)
Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes de sólidos generados por el giro de un área comprendida entre dos gráficas cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b] alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante. La fórmula general del volumen de estossólidos es:
Esta fórmula se simplifica si giramos figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por:
Método de cilindros o capas.
Teorema del centroide de Pappus
El teorema del centroide de Pappus o teorema de Pappus–Guldinus, afirma que el área A de una superficie de revolución generada por rotación de unacurva C alrededor de un eje en el mismo plano es igual al producto de la longitud del arco s de C y la distancia d hasta su centro geométrico.
Por ejemplo, el área superficial de un toroide con radio menor r y mayor R es
Localización de un punto en coordenadas polares.
El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano sedetermina por un ángulo y una distancia.
De manera más precisa, todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r, θ) donde r es la distancia del punto al origen o polo y θ es el ángulo positivo en sentido antihorario medido desde el eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). La distancia se conoce como la «coordenada radial» mientras que el ángulo es la «coordenada angular»o «ángulo polar».
En el caso del origen de coordenadas, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).
Representación de puntos con coordenadas polares
Los puntos (3,60º) y (4,210º) en un sistema de coordenadas polares.
En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro dereferencia (punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para referenciar un punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL.
* El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL.
* El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un ángulo de 210º sobre OL.Un aspecto importante del sistema de coordenadas polares, que no está presente en el sistema de coordenadas cartesianas, es que un único punto del plano puede representarse con un número infinito de coordenadas diferentes. Se puede decir entonces que en el sistema de coordenadas polares no hay una función biyectiva entre los puntos del espacio y las coordenadas. Esto ocurre por dos motivos:...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.