Tarea

Distribución normal multivariante

En probabilidad y estadística, una distribución normal multivariante, también llamada distribución gaussiana multivariante, es una generalización de ladistribución normal unidimensional a dimensiones superiores
Un vector aleatorio [pic]sigue una distribución normal multivariante si satisface las siguientes condiciones equivalentes:
• Toda combinaciónlineal [pic]está normalmente distribuida.
• Hay un vector aleatorio [pic], cuyas componentes son independientes son variables aleatorias distribuidas según la normal estándar, un vector [pic]y unamatriz [pic][pic]tal que [pic].
• Hay un vector μ y una matriz semidefinida positiva simétrica [pic]tal que la función característica de X es
[pic]
Si [pic]es una matriz no singular,entonces la distribución puede describirse por la siguiente función de densidad:
[pic]
donde [pic]es el determinante de [pic]. Nótese como la ecuación de arriba se reduce a la distribución normalsi [pic]es un escalar (es decir, una matriz 1x1).
El vector μ en estas circunstancias es la esperanza de X y la matriz [pic]es la matriz de covarianza de las componentes Xi.
Es importante comprenderque la matriz de covarianza debe ser singular (aunque no esté así descrita por la fórmula de arriba, para la cual [pic]está definida).
Este caso aparece con frecuencia en estadística; por ejemplo, enla distribución del vector de residuos en problemas ordinarios de regresión lineal. Nótese también que los Xi son en general no independientes; pueden verse como el resultado de aplicar latransformación lineal A a una colección de variables normales Z.
Esta distribución de un vector aleatorio X que sigue una distribución normal multivariante puede ser descrita con la siguiente notación:[pic]
o hacer explícito que X es n-dimensional,
[pic]

Función de distribución
La función de distribución F(x) se define como la probabilidad de que todos los valores de un vector...