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UNIDAD VI “MOMENTOS DE INERCIA”
Momento de inercia: es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto demomentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos.

Importancia del momento de inercia, radios de giro y sus aplicaciones.
El mismo momento de inercia con respecto de ¡eje x, la tira debe ser colocada a una distancia kx, a partir del eje x, donde k., estádefinida por la relación
Ix = kx2
Resolviendo para kx, se escribe:

Se hace referencia a la distancia kx, como el radio de giro del área con respecto del eje x. En una forma similar, se pueden definir los radios de giro ky. y ko (figura 9.7c y d); así, se escribe :


Si se reescribe la ecuación (9.4) en términos de los radios de giro, se encuentra que:

* Momento deinercia de áreas comunes
SEGUNDO MOMENTO O MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA.
Por ejemplo, considérese una viga de sección transversal uniforme la cual está sometida a dos pares iguales y opuestos que están aplicados en cada uno de los extremos de la viga. Se dice que una viga en tales condiciones está en flexión pura y en la mecánica de materiales se demuestra que en las fuerzas internas en cualquiersección de la viga son fuerzas distribuidas cuyas magnitudes varían linealmente con la distancia y que hay entre el elemento de área y un eje que pasa a través del centroide de la sección. Dicho eje representado por x como en la figura 9.1, se conoce como el eje neutro. Las fuerzas en un lado del eje neutro son fuerzas de compresión, mientras que las fuerzas en el otro lado son fuerzas de tensión;sobre el propio eje neutro de las fuerzas son iguales a cero.

La magnitud de la resultante R de las fuerzas elementales F que actúan sobre toda la sección está dada por la fórmula:

La última integral obtenida se conoce como el primer momento Qx de la sección con respecto del eje x; dicha cantidad es igual a YA y por lo tanto, es igual a cero puesto que el centroide de la sección estálocalizado sobre el eje x. Por consiguiente el sistema de fuerzas F se reduce a un par. La magnitud m de dicho par debe ser igual a la suma de los momentos Mx = yF = Ky2 A de las fuerzas elementales. Integrando sobre toda la sección se obtiene:

La última integral se conoce como segundo momento o momento de inercia, de la sección de la viga con respecto del eje x y se representa con Ix. El segundomomento se obtiene multiplicando cada elemento de área dA por el cuadrado de su distancia desde el eje x e integrándolo sobre la sección de la viga. Como cada producto y2 dA es positivo, sin importar el signo de y, o cero, la integral Ix siempre será positiva. Otro ejemplo de un segundo momento, o momento de inercia de un área lo proporciona el siguiente problema de hidrostática:
Una compuertacircular vertical utilizada para cerrar el escurridero de un gran depósito está sumergida bajo agua como muestra la figura. ¿cuál es la resultante de las fuerzas ejercidas por el agua sobre la compuerta y cual es el momento de la resultante con respecto de la línea de intersección del plano de la compuerta y la superficie del agua ( eje x)?.

Si la compuerta fuera rectangular, la resultante de lasfuerzas de presión se podría determinar a partir de la curva de presión tal y como se hizo en los capítulos anteriores. Sin embargo puesto que la compuerta es circular, se debe utilizar un método más general. Representado por y la profundidad de un elemento de área A y por el ángulo gamma al peso específico del agua, la presión en el elemento es p = y y la magnitud de la fuerza elemental ejercida...