Tasa de variacion relacionadas

TASAS DE VARIACION RELACIONADAS

Un problema de tasa de variación relacionada es aquel que involucra tasas de variación de variables relacionadas. En aplicaciones del mundo real que implican tasas de variación relacionadas, las variables tienen una relación específica para los valores de t, donde t es una medida de tiempo.
En general, esta relación se expresa mediante una ecuación, la cualrepresenta un modelo matemático. Esta sección se inicia con un ejemplo ilustrativo que muestra el camino paso a paso de cómo se resuelven la mayoría de los problemas de tasas de variación relacionadas.

SUGERENCIAS PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE TASAS DE VARIACION RELACIONADAS

Lea el problema detenidamente de modo que lo entienda. Es útil inventar un ejemplo específico que contemple una situaciónsemejante en la que todas las cantidades sean conocidas. Otra ayuda es dibujar una figura.
Después aplique los siguientes pasos:
1.- Defina las variables de la ecuación que obtendrá. Debido a que estás representan números, las definiciones de las variables deben indicar este hecho. Asegúrese de definir primero t, y las otras variables deben indicar su dependencia de t.
2.- Escriba los hechosnuméricos conocidos acerca de las variables y de sus derivados con respecto a t.
3.- Escriba lo que desea determinar.
4.-Escriba una ecuación que relacione las variables que dependen de t. esa ecuación será un modelo matemático de la situación.
5.- Derive con respecto a t los dos miembros de la ecuación obtenida para relacionar las tasas de variación de las variables.
6.- Sustituya losvalores de las cantidades conocidas en la ecuación y despeje la cantidad deseada.
7.-Escriba una conclusión que consista de una o más oraciones completas y que responda las preguntas del problema. No olvide que la conclusión debe contener las unidades correctas de medición.

EJEMPLOS:
1).- Una escalera de 25 pie de longitud está apoyada contra una pared vertical como se muestra en la figura. La basede la escalera se jala horizontalmente alejándola de la pared a 3 pie/s.
Suponga que se desea determinar qué tan rápido se desliza hacia abajo la parte superior de la escalera sobre la pared cuando su base se encuentra a 15 pie de la pared.


Paso 1.- primero defina las variables comenzando con t.
t: el número de segundos del tiempo que ha transcurrido desde que la escalera comenzó adeslizarse hacia abajo sobre la pared.
x: el número de pies de la distancia desde la base de la escalera a la pared a los t segundos.
y: el número de pies de la distancia desde el piso a la parte superior de la escalera a los t segundos.

Paso 2.- escriba cualquier hecho numérico acerca de x, y y sus derivadas con respecto a t.
Como la base de la escalera es jalada horizontalmente alejándola de lapared a 3 pie/s, dx/dt = 3
Paso 3.- escriba lo que desea determinar.
Se desea determinar dy/dt cuando x = 15
Paso 4.- escriba una ecuación que relacione a x y y .del teorema de Pitágoras,
y^2=625- x^2
Paso 5.- derive los dos miembros de (1) con respecto a t
2y dy/dt= -2x dx/dt
dy/dt= - x/y dx/dt
Paso 6.- sustituya los valores conocidos de x, y y dx/dt en la ecuación anterior yresuélvala para dy/dt.
Cuando x = 15, de (1) y =20. Como dx/dt = 3, se obtiene de (2)
dy/dt= - 15/20*3
dy/dt= -9/4
El signo menos indica que y decrece conforme t aumenta.
Paso 7.- escriba una conclusión.
Conclusión: la parte superior de la escalera se desliza hacia abajo sobre la pared a la tasa de 2.25 pie/s cuando la base está a 15 pie de la pared


2).- Cierta cantidad de agua fluye auna tasa de 2m^3/min hacia el interior de un depósito cuya forma es la de un cono invertido de 16m de altura y 4m de radio. ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua cuando está alcanzando 5m de profundidad?
Paso 1.- se definen las variables, primero t y después las otras variables en términos de t.
t: el número de minutos del tiempo que ha transcurrido desde que el agua comenzó a fluir dentro del...