Tecnicas de conteo

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UNIVERSITARIA NUEVA COLOMBIA ESTADÍSTICA TÉCNICAS DE CONTEO
HELENA DULCEY HERNÁNDEZ CONTENIDO • • • • Principios básicos de conteo o Principio de adición o Principio de multiplicación Notación factorial Coeficientes binomiales Permutaciones o Permutaciones con repeticiones o Muestras ordenadas Muestreo con reposición Muestreo sin reposición Combinaciones Diagramas de árbol

• •

TÉCNICAS DECONTEO
PRINCIPIOS BÁSICOS DE CONTEO
Hay dos principios básicos de conteo que se utilizarán en esta guía, uno comprende la adición y otro la multiplicación.

PRINCIPIO DE ADICIÓN
Su pongamos que algún evento E puede ocurrir en m formas y un segundo evento F puede ocurrir en n formas, y supongamos que ambos eventos no pueden ocurrir en forma simultánea. Entonces E o F pueden ocurrir en m + nformas. Este principio puede expresarse en términos de conjuntos y es simplemente Supongamos que A y B son conjuntos disyuntos. Entonces: n(A ∪ B) = n(A) + n(B)

EJEMPLOS
1. Supongamos que la Universitaria Nueva Colombia tiene 8 profesores y 5 profesoras que enseñan la materia estadística. Un estudiante puede escoger un profesor de estadística de 8 + 5 = 13 formas. 2. En la biblioteca de lafacultad de contaduría, se tienen 10 libros de economía, 8 de probabilidad y 5 de costos. Por lo tanto la biblioteca de esta facultad tiene en total 23 libros = 10 + 8 + 5.

TÉCNICAS DE CONTEO

PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN
Su pongamos que un evento E puede ocurrir en m formas e independiente de este evento, un evento F puede ocurrir en n formas. Entonces las combinaciones de los eventos E y Fpueden ocurrir en m n formas. Este principio puede expresarse en términos de conjuntos y es simplemente Supongamos que A y B son conjuntos finitos. Entonces: n(A × B) = n(A) • n(B)

EJEMPLOS
1. Supongamos que la Universitaria Nueva Colombia ofrece 5 cursos de estadística, 4 cursos de matemáticas y 2 cursos de probabilidad. Supongamos que un estudiante va a hacer su horario, escogiendo un curso decada uno de los cursos ofrecidos. El número de horarios que puede obtener es: n = 5 × 4 × 2 = 40 2. Suponga que una clave está formada por 4 caracteres, siendo las dos primeras letras del alfabeto y los dos últimos, dígitos. El número de opciones que se tienen para escoger la clave está dado por 26 formas de escoger cada uno de los 2 primeros caracteres y 10 formas de escoger cada uno de losúltimos 2 caracteres. Por tanto, n = 26 × 26 × 10 × 10 = 67.600 3. Determinar cuántos números de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 1,4,3,5,7,8, sin repetir dígito. NÚMERO DE 4 CIFRAS Centenas Decenas
5 posibilidades 4 posibilidades

Unidad de Mil
6 posibilidades

Unidades
3 posibilidades

Por lo tanto, n = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 números

NOTACIÓN FACTORIAL
El producto de los enterospositivos de 1 a n inclusive ocurre con mucha frecuencia en matemáticas y por ello se presenta por el símbolo especial n!, que se lee “n factorial”. Es decir,

n! = 1 × 2 × 3 × … × (n - 2) × (n - 1) × n = n × (n - 1) × (n - 2) × … × 3 × 2 × 1
OBSERVACIONES:
1. Por definición, se tiene que 0! = 1 2. n! también puede definirse n! = n × (n - 1)! Página 2 de 9

TÉCNICAS DE CONTEO

EJEMPLOS1. 2! = 2 × 1 = 2; 2.
! ! ! … …

3! = 3 × 2 × 1 = 6;
!

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

56
… ! !

3. n (n - 1) …(n – r + 1) =

COEFICIENTES BINOMIALES
El símbolo , donde r y n son enteros positivos con r ≤ n se define de la siguiente manera

1

2 … 1 …3 2

1 1

O

! !
Fórmula 2

!

Fórmula 1

OBSERVACIÓN: n - (n - r) = r
LEMA: , o en forma equivalente, , donde a + b = n yel hecho de que 0!=1, se define
! ! !

OBSERVACIÓN: con base en la fórmula 2 para
! ! !

1; en particular

1

EJEMPLOS 1.
NOTA:
! ! !

7

5

35;

! ! !

10

3

7

210

tiene exactamente r factores tanto en el numerador como en el denominador.

2. Calcular

.
! ! !

Por definición

10
10 3 10! 3! 7 !

3

4

120

Por otra parte, se tiene que 10 – 7 =...
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