Tecnicas de conteo

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO

Estadística

TÉCNICAS DE CONTEO

Para determinar el espacio muestral o el tamaño del espacio muestral, es necesario desarrollar
algunas técnicas de enumeración las cuales son:
El Diagrama de Árbol
Análisis Combinatorio.
DIAGRAMAS DE ÁRBOL
Los diagramas de árbol son ordenaciones empleadas para enumerar todas las posibilidades lógicas
de una secuenciade eventos, donde cada evento puede ocurrir en un número finito. Proporcionan un
método sistemático de enumeración objetiva de los resultados.

Ramas

Raíz

A continuación, se presenta un Diagrama de Árbol, referente a las respuestas que se pueden dar a
tres preguntas de Verdadero o Falso.
Tenemos dos opciones posibles para cada pregunta, V o F el árbol presenta dos ramas en cadapregunta.
1) La teoría de conjuntos fue desarrollada por G. Cantor.
a) V
b) F

2) G. Cantor es de origen francés.
a)V

b) F

3) La teoría de conjuntos sirve para simplificar la Estadística.
a) V

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

b) F

1

M. en C. José Luis Hernández González

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Estadística

3)
2)

V

V
F

1)
V

V
F
F
V
V
F
V

FF

F
Las diferentes formas en que se puede contestar son ocho y forman el espacio muestral.
S = {VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF}
Se tienen en un estante 3 libros uno de Álgebra, otro de Contabilidad y otro de Biología. ¿De
cuántas formas distintas se pueden ordenar los libros?
C

B

B

C

A

C

C

A

A

B

B

A

A

B

C

DEPARTAMENTO DE CIENCIASBÁSICAS

2

M. en C. José Luis Hernández González

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Estadística

{ACB, ABC, BCA, BAC, CAB, CBA}

Álgebra

Biología

Álgebra

Biología

Contabilidad

Contabilidad

Álgebra

Contabilidad

Biología

Contabilidad

Biología

Álgebra

Álgebra

Contabilidad

Contabilidad

Biología

Biología

Álgebra

ANÁLISIS COMBINATORIO
Losdiagramas de árbol muestran objetivamente el número de resultados posibles en que se puede
disponer de la ordenación de un conjunto de elementos, pero esta enumeración es limitada, pues a
medida que aumenta el número de objetos dicha ordenación se complica, por lo que hay que utilizar
otro procedimiento más sencillo para determinar el número total de resultados. Con este fin, nos
apoyaremos enlos conceptos permutaciones y combinaciones, los cuales tienen como base el
principio fundamental del conteo.

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO
Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras, y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede
ocurrir de n2 maneras diferentes, entonces el número total de formas diferentes en que ambos
eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a n1 x n2.¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que
cada persona no puede obtener más de un premio?
Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer
premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y
posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí queel número de maneras
distintas de repartir los tres premios.
n1 x n2 x n3
10 x 9 x 8 = 720
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

3

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¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras? No se
admiten repeticiones.
26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000
El símbolo ! selee factorial y es el producto resultante de todos los enteros positivos de 1 a n; es
decir, sea n un número entero positivo, el producto n (n-1) (n-2)...3 x 2 x 1 se llama factorial de n.
n! = n (n -1 ) (n -2 )...3 x 2 x 1
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Por definición 0! = 1

PERMUTACIONES
Una permutación de un conjunto de elementos, es un ordenamiento específico de todos o algunos...