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DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Derivada de una función en un punto. Función derivada.
Sea f (x) una función de una variable definida en un intervalo abierto (a , b) y sea x0 ∈ (a , b). Se
dice que f es derivable en x0 si existe
lim

x →x 0

f (x 0 + h) − f (x 0 )
f (x) − f (x 0 )
= lim
h →0
x − x0
h

con h = x – x0

Si f es derivable en x0 este límite se llama derivadade f en x0 y se escribe de cualquiera de las
siguientes formas:
 df 
df

f´(x0)
,
(x 0 )
,
dx

dx

 x0
Ejemplos:
f (x) − f (x 0 )
4−4
0
= lim
= lim
=
x − x0
x→x 0 x − x0
x→x 0 x − x0
x→x0

1. y = f(x) = 4 ⇒ f´(x0) = lim

= lim 0 = 0
x→x0

⇒ f´(x) = 0

3x − 3x 0
f (x) − f (x 0 )
= lim
=
x − x0
x→x0
x →x 0 x − x 0

2. y = f(x) = 3x ⇒ f´(x0) = lim

3(x − x 0 )
= lim 3 = 3
x→x0
x→x0 x − x0

= lim

⇒ f´(x) = 3

x 2 − x 02
f (x) − f (x 0 )
3.- y = f(x) = x ⇒ f´(x0) = lim
= lim
=
x − x0
x→x0
x→x0 x − x0
( x − x 0 )( x + x 0 )
= lim
= lim ( x + x 0 ) = 2x0
x − x0
x→x 0
x→x0
2

⇒

f´(x) = 2x

La derivada mide la variación aproximada que se produce en la función ante un cambio pequeño en
la variable independiente.
Unafunción f(x) de una variable definida en un intervalo abierto (a , b) se dice que es derivable
si lo es en todo punto x0 ∈ (a , b), lo que quiere decir que ∀ x0 ∈ (a , b) existe f´(x0). Se llama
función derivada de f a la que asigna a cada x ∈ (a , b) el valor f´(x).
1

Sea f(x) una función de una variable definida en un intervalo abierto (a , b) y sea x0 ∈ (a , b). Se
dice que f(x) esderivable en x0 por la derecha si existe
f´(x0+ ) = lim+
x →x 0

f (x) − f (x 0 )
f (x 0 + h) − f (x 0 )
= lim+
h →0
x − x0
h

y f (x) es derivable en x0 por la izquierda si existe
f´(x0- ) = lim−
x →x 0

f (x) − f (x 0 )
f (x 0 + h) − f (x 0 )
= lim−
h →0
x − x0
h

Estos límites laterales se llaman derivadas laterales.
Una función f es derivable en x0 si y sólo si existenf´(x0+ ) y f´(x0- ) y ambos valores son
iguales, en cuyo caso:
f´(x0) = f´(x0+ ) = f´(x0- )

Ejemplos:

si x ≤ 2
 x
1. f ( x ) = 
2x − 2 si x > 2
f´(2+) =

f´(2-) =

lim+

2x − 2 − 2
f ( x ) − f (2)
= lim+
=2
x →2
x−2
x−2

lim−

x−2
f ( x ) − f (2)
= lim−
=1
x →2 x − 2
x−2

lim

f ( x ) − f (0)
x
= lim+
=1
x →0 x
x−0

lim−

f ( x ) − f (0)
−x
= lim−
= -1x →0
x−0
x

x →2

x →2

 x si x > 0

1. f(x) = x =  0 si x = 0
− x si x < 0


f´(0+) =
f´(0-) =

 0 si x < 0
3. f ( x ) =  2
 x si x ≥ 0

x →0 +

x →0

+

f´(0 ) =

f ( x ) − f (0)
x2
lim
= lim+
= lim + x = 0
x →0 x
x →0 +
x−0
x →0

2

f´(0-) =

lim−

x →0

f ( x ) − f (0)
0
= lim−
= lim − 0 = 0
x →0 x
x−0
x →0

Observaciónimportante: Si f(x) es derivable en el punto x0 entonces f(x) es continua en dicho
punto; de aquí se deduce que si una función f(x) no es continua en un punto x0 entonces
tampoco será derivable en dicho punto. Pero el recíproco no tiene por qué ser cierto, es decir,
si una función f(x) es continua en un punto x0 entonces podrá ser o no derivable en dicho
punto. De los ejemplos anteriores, observamosen el nº 3 que f(x) es derivable en el punto x = 0,
por lo que también será continua en dicho punto. Ahora bien, en el ejemplo nº 2, la función
f(x) = x no es derivable en x = 0 aunque sí es continua en ese punto.
Derivadas de las funciones más usuales (C representa una constante y f una función derivable)

Función
C
x
xn

x

derivada
0
1
nxn-1

Función

derivada

Funcióntg x

Cx
fn

1

f

2 x

C

cotg x

n f n-1 f´

sec x

f'

cosec x

2 f

derivada
1
2

cos x
−1
2

sen x
sen x
cos 2 x
− cos x
sen 2 x

Función
tg f
cotg f
sec f

derivada
f'
cos 2 f
−f'
sen 2 f
f ' sen f
cos 2 f

cosec f
− f ' cos f
sen 2 f

n

x

ex

1
n n x n −1

ex

n

f

ef

f'

arc sen x

n n f n −1

arc cos x...