Teoría de conjuntos

Teoría de Conjuntos
Antonia Huertas Sanchez María Manzano Arjona mara@usal.es Febrero 2002

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Índice general
0.1. Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

I

TEORÍA BÁSICA DE CONJUNTOS 1
3 3 4 4 6 6 7 7 9 9 10 10 13 13 13 14 14 15 15 16 16 17 18 19 19

1. Introducción 1.1. Pinceladas históricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Teoría intuitiva de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. La selva de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Problemas en la teoría intuitiva de conjuntos: la paradoja de Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Solución de las paradojas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. El Universo matemático . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 1.4. Teoría axiomática de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Álgebra de Conjuntos 2.1. El lenguaje de la Teoría de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Igualdad, inclusión y conjunto vacío . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Relaciones y Funciones 3.1. Clases unitarias, pares ydíadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Conjunto potencia (o conjunto de las partes de un conjunto) 3.3. Gran unión y gran intersección . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Relaciones binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Relación inversa, producto relativo y restricción . . . . . . . . 3.7. Imagenbajo una relación y relación identidad. . . . . . . . . 3.8. Propiedades de ciertas relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10. Relaciones de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11. Funciones, composición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12. Funciones de A en B . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . iii

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ÍNDICE GENERAL

II Teoría de Conjuntos Axiomática 21
4. Primeros Axiomas 23 4.1. Axiomas de Extensionalidad y de Separación . . . . . . . . . . . 23 4.2. Axiomas del Par, de la Unión y de las Partes . . . . . . . . . . . 23 4.3. Axioma de Reemplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5. Construcción delos Ordinales 5.1. Buenos órdenes e inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Inducción en un conjunto bien ordenado . . . . . . . . . 5.1.2. Inducción en el conjunto de los números naturales . . . 5.2. Buenos órdenes y ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Comparación de conjuntos bien ordenados: Isomorfismos 5.2.2. Segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 5.2.3. Ordinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Observaciones acerca de los ordinales . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 26 26 27 27 27 27 28

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6. La Jerarquía de Zermelo 31 6.1. Construcción de la Jerarquía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6.2. Axiomas involucrados en la construcción de la jerarquía . . . . . 32 7. Los Axiomasde Elección y Constructibilidad 7.1. Axioma de la elección . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1. Otras formulaciones del axioma de elección 7.1.2. Importancia del Axioma de Elección . . . . 7.2. Axioma de Constructibilidad . . . . . . . . . . . . 8. Ejercicios 8.1. Igualdad, Inclusión y Conjunto vacío . . . . . . . . 8.2. Operaciones: Algebra de conjuntos . . . . . . . . . 8.3. Clases Unitarias,Pares y Díadas . . . . . . . . . . 8.4. Conjunto Potencia (o Conjunto de las Partes de un 8.5. Gran Unión y Gran Intersección . . . . . . . . . . 8.6. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7. Relaciones Binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8. Relación Inversa, Producto Relativo y Restricción . 8.9. Imagen bajo una Relación y Relación de Identidad 8.10. Propiedades...