Teoría De Errores
Páginas: 5 (1130 palabras)
Publicado: 22 de febrero de 2013
Teoría de errores
Introducción.
En el campo de la ingeniería y ciencias, existen infinidad de fenómenos que requieren representarse mediante modelos matemáticos. Desafortunadamente, la gran mayoría de estos modelos no tiene una solución exacta ó no es fácil el hallarla. Es estos casos es en donde los métodos numéricos proporcionan una solución aproximada al problema original. Un métodonumérico es aquel que obtiene números que se aproximan a los que se obtendrían aplicando la solución analítica de un problema.
Aproximación numérica y teoría de errores
Debemos conformarnos siempre, en la práctica de la ingeniería y de las ciencias, con una solución aproximada a un problema por las siguientes razones:
Los modelos matemáticos son aproximados; esto es; simplificaciones al problemareal. No se toman en cuenta todos los factores que afectan a un fenómeno.
Los modelos matemáticos requieren de parámetros, los cuales la mayoría de las veces provienen de mediciones experimentales y estas, solo tienen una precisión limitada, que depende del instrumento de medición. También pueden provenir de cálculos y estos tienen una precisión limitada que depende tanto del método como delinstrumento de cálculo que se utilicen.
Los modelos matemáticos resultantes son imposibles de resolver por métodos analíticos y se debe de aproximar la solución numéricamente.
Por lo anterior, humildemente tenemos que aceptar que siempre se tendrán presentes errores, estos pueden clasificarse en: errores inherentes, errores de truncamiento, errores de redondeo…
Error
El error se define como ladiferencia entre el valor real Vr y una aproximación a este valor Va :
e = Vr – Va
Debido a que la definición se dio en términos del valor absoluto, el error absoluto no es negativo. Así pues, una colección (suma) de errores siempre se incrementan juntos, sin reducirse. Este es un hecho muy pesimista, dado que el redondeo y otros errores rara vez están en la misma dirección, es posible queuna suma ("algebraica") de errores sea cero, con aproximadamente la mitad de los errores positiva y la otra mitad negativa. Pero también es demasiado optimista esperar que errores con signo sumen cero a menudo. Un enfoque realista es suponer que los errores, en especial el redondeo, están estadísticamente distribuidos.
Error relativo
El error relativo se define como el cociente del errorentre el valor real Vr (sí ):
El error relativo es una mejor medida del error que el error absoluto, en especial cuando se utilizan sistemas numéricos de punto flotante. Puesto que los elementos de un sistema de punto flotante no están distribuidos de manera uniforme, la cantidad de redondeos posibles depende de la magnitud de los números que se redondean. El denominador de la ecuación dearriba compensa este efecto.
Una característica relacionada de error relativo es que los efectos de escalar la variable (es decir, de multiplicarla por una constante distinta de cero, incluyendo cambios en la unidad de medición) se cancelan. Una buena medida del error debería ser "invariante de las escalas", de modo que al cambiar de yardas a pulgadas, digamos, no debería amplificar el erroraparente por 36, como sucedería en la ecuación de arriba. Si bien las matemáticas puras se inclinarían a utilizar el error absoluto, en general el error relativo se emplea en las ciencias aplicadas.
Algunas veces conviene multiplicar el error relativo por 100 (por ciento) para ponerlo en una base porcentual.
Error porcentual
El error porcentual es simplemente el error relativo expresado enpor ciento (%).
También es usual emplear el valor absoluto en los parámetros anteriores, en cuyo caso se denominan respectivamente error absoluto, error relativo absoluto y error porcentual absoluto.
Errores inherentes
Los errores inherentes son aquellos que tienen los datos de entrada de un problema, y son debidos principalmente a que se obtienen experimentalmente, debiéndose tanto al...
Introducción.
En el campo de la ingeniería y ciencias, existen infinidad de fenómenos que requieren representarse mediante modelos matemáticos. Desafortunadamente, la gran mayoría de estos modelos no tiene una solución exacta ó no es fácil el hallarla. Es estos casos es en donde los métodos numéricos proporcionan una solución aproximada al problema original. Un métodonumérico es aquel que obtiene números que se aproximan a los que se obtendrían aplicando la solución analítica de un problema.
Aproximación numérica y teoría de errores
Debemos conformarnos siempre, en la práctica de la ingeniería y de las ciencias, con una solución aproximada a un problema por las siguientes razones:
Los modelos matemáticos son aproximados; esto es; simplificaciones al problemareal. No se toman en cuenta todos los factores que afectan a un fenómeno.
Los modelos matemáticos requieren de parámetros, los cuales la mayoría de las veces provienen de mediciones experimentales y estas, solo tienen una precisión limitada, que depende del instrumento de medición. También pueden provenir de cálculos y estos tienen una precisión limitada que depende tanto del método como delinstrumento de cálculo que se utilicen.
Los modelos matemáticos resultantes son imposibles de resolver por métodos analíticos y se debe de aproximar la solución numéricamente.
Por lo anterior, humildemente tenemos que aceptar que siempre se tendrán presentes errores, estos pueden clasificarse en: errores inherentes, errores de truncamiento, errores de redondeo…
Error
El error se define como ladiferencia entre el valor real Vr y una aproximación a este valor Va :
e = Vr – Va
Debido a que la definición se dio en términos del valor absoluto, el error absoluto no es negativo. Así pues, una colección (suma) de errores siempre se incrementan juntos, sin reducirse. Este es un hecho muy pesimista, dado que el redondeo y otros errores rara vez están en la misma dirección, es posible queuna suma ("algebraica") de errores sea cero, con aproximadamente la mitad de los errores positiva y la otra mitad negativa. Pero también es demasiado optimista esperar que errores con signo sumen cero a menudo. Un enfoque realista es suponer que los errores, en especial el redondeo, están estadísticamente distribuidos.
Error relativo
El error relativo se define como el cociente del errorentre el valor real Vr (sí ):
El error relativo es una mejor medida del error que el error absoluto, en especial cuando se utilizan sistemas numéricos de punto flotante. Puesto que los elementos de un sistema de punto flotante no están distribuidos de manera uniforme, la cantidad de redondeos posibles depende de la magnitud de los números que se redondean. El denominador de la ecuación dearriba compensa este efecto.
Una característica relacionada de error relativo es que los efectos de escalar la variable (es decir, de multiplicarla por una constante distinta de cero, incluyendo cambios en la unidad de medición) se cancelan. Una buena medida del error debería ser "invariante de las escalas", de modo que al cambiar de yardas a pulgadas, digamos, no debería amplificar el erroraparente por 36, como sucedería en la ecuación de arriba. Si bien las matemáticas puras se inclinarían a utilizar el error absoluto, en general el error relativo se emplea en las ciencias aplicadas.
Algunas veces conviene multiplicar el error relativo por 100 (por ciento) para ponerlo en una base porcentual.
Error porcentual
El error porcentual es simplemente el error relativo expresado enpor ciento (%).
También es usual emplear el valor absoluto en los parámetros anteriores, en cuyo caso se denominan respectivamente error absoluto, error relativo absoluto y error porcentual absoluto.
Errores inherentes
Los errores inherentes son aquellos que tienen los datos de entrada de un problema, y son debidos principalmente a que se obtienen experimentalmente, debiéndose tanto al...
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