Teorema de completitud

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Teorema de completitud
De Epistemowikia
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El teorema de completitud de Gödel es un teorema importante en la Lógica Matemática que fue demostrado por Kurt Gödel en 1929.El teorema dice que en el lógica de predicados de primer orden, cada fórmula lógicamente válida es demostrable.

La palabra "demostrable" quiere decir que hay una deducción formal de la fórmula.Tal deducción es una lista finita de pasos, en la cual, cada paso invoca un axioma o es obtenido de pasos anteriores según una regla de inferencia básica. Considerando tal deducción, la corrección decada uno de estos pasos puede ser comprobada algorítmicamente (por un ordenador, por ejemplo, o a mano).

Una fórmula lógica de primer orden es llamada universalmente válida o lógicamente válida si sededuce de los axiomas del cálculo de primer orden.

Por otro lado, el Teorema de Completitud de Gödel dice que las reglas de inferencia de cálculo de predicado de primer orden son "completas" en elsentido que no requieren que ninguna regla de inferencia adicional demuestre que son fórmulas lógicamente válidas.

La rama de la Lógica Matemática que trata sobre lo que es cierto en modelosdiferentes es la Teoría de Modelos. Según Wikipedia, «la Teoría de la Demostración o Teoría de la Prueba es una rama de la Lógica Matemática que trata a las demostraciones como objetos matemáticos,facilitando su análisis mediante técnicas matemáticas». El teorema de completitud establece una conexión fundamental entre estas dos ramas, uniendo semántica y sintaxis.

Una versión más general delteorema dice que para cualquier teoría de primer orden T y cualquier sentencia S en el lenguaje de dicha teoría, hay una deducción formal de S en T si y sólo si la S se satistace para cada modelo de T. Estoes usado implícitamente, por ejemplo, cuando una sentencia es demostrada por axiomas de la Teoría de Grupos considerando un grupo aleatorio y probando que la sentencia se satisface para ese grupo....
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