Teorema de grees y stokes

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Teorema de Green
En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green y es un caso especial del más general teorema de Stokes. El teoremaafirma:
Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C. Si L y M tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D,

A veces la notación

se utiliza para establecer que la integral de línea está calculada usando la orientación positiva (antihoraria) de la curva cerrada C.-------------------------------------------------
[editar]Relación con el teorema de la divergencia
El teorema de Green es equivalente a la siguiente analogía bidimensional del teorema de Stokes:
 donde  es el versor normal saliente en la frontera.
Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la ecuación. Como  es un vector apuntando tangencialmente a través de una curva, y la curva C estáorientada de manera positiva (es decir, en contra del sentido de las agujas del reloj) a través de la frontera, un vector normal saliente sería aquel que apunta en 90º hacia la derecha, el cual podría ser . El módulo de este vector es . Por lo tanto .
Tomando los componentes de , el lado derecho se convierte en

que por medio del teorema de Green resulta:-------------------------------------------------
Teorema de Stokes

El teorema de Stokes en geometría diferencial es una proposición sobre la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819-1903), a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson y aparece en una correspondencia que él mantuvo conStokes.
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Introducción
El teorema fundamental del cálculo establece que la integral de una función f en el intervalo [a, b] puede ser calculada por medio de una antiderivada F de f:

El teorema de Stokes es una generalización de este teorema en el siguiente sentido:
* Para la F elegida, . En el lenguaje de las formas diferenciales es decirque f(x) dx es la derivada exterior de la 0-forma (como por ejemplo una función) F: dF = f dx. El teorema general de Stokes aplica para formas diferenciales mayores ω en vez de F.
* En un lenguaje matemático, el intervalo abierto (a, b) es una variedad matemática unidimensional. Su frontera es el conjunto que consiste en los dos puntos a y b. Integrar f en ese intervalo puede ser generalizadocomo integrar formas en una variedad matemática de mayor orden. Para esto se necesitan dos condiciones técnicas: la variedad matemática debe ser orientable, y la forma tiene que ser compacta de manera que otorgue una integral bien definida.
* Los dos puntos a y b forman parte de la frontera del intervalo abierto. Más genéricamente, el teorema de Stokes se aplica a variedades orientadas M confrontera. La frontera ∂M de M es una variedad en sí misma y hereda la orientación natural de M. Por ejemplo, la orientación natural del intervalo da una orientación de los dos puntos frontera. Intuitivamente a hereda la orientación opuesta a b, al ser extremos opuestos del intervalo. Entonces, integrando F en los dos puntos frontera a, b es equivalente a tomar la diferencia F(b) − F(a).
Por lo queel teorema fundamental relaciona la integral de una función sobre un intervalo, con una integral o suma de la primitiva de la función en los límites que encierran dicho intervalo:

Por otro lado el teorema de Green relaciona hace algo similar en dos dimensiones, relaciona la integral a lo largo de una curva simple con la integral de una combinación de derivadas sobre un área limitada por la...