Teorema del extremo interior

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Teorema del extremo interior
 
Sea f una función definida al menos en un intervalo abierto (a,b). Si f toma un valor extremo en un punto c de ese intervalo y si existe f´(c) entonces
 
f´(c) =0
 
Para construir el concepto de máximo o de mínimo es necesario construir la definición de cuerda de f .
 
Definición de cuerda de f. Un segmento que une dos puntos del gráfico de una funciónf se le llama cuerda de f.

Podemos observar, nuevamente de manera intuitiva que si existe al menos una tangente horizontal. Por ello presentamos el siguiente enunciado conocido como el teorema deRollo (matemático del siglo XVII)
 
Teorema de Rolle:
Sea f una función sobre un intervalo cerrado [a,b], con derivadas en todo x del intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b), existe al menos unpunto c en (a,b) tal que:
f´(c) = 0
 
Ejemplo:
 
Verificar el teorema de Rolle para f(x)=x 2+1 en el intervalo cerrado [-1,1].
 
Primero sabemos que la función, con dominio todos losnúmeros reales, y derivable en todo punto.
 

la derivada de esta función es: f´(x)=2x

lo que nos conduce a obtener la posición en la que f´(x)=0.
 f´(x)=2x=0 entonces x=0 lo cual indica que la función tiene un máximo o un mínimo en dicho intervalo.
 
El presente teorema permite realizar una generalización del teorema de Rolle. Como sehabía mencionado el teorema de Rolle garantiza que si el grafico de una cuerda es horizontal entonces la función tiene una derivada a paralela al eje de las x´s.
 
Teorema del valor medio:
 
Sea funa función continua en algún intervalo cerrado [a,b], y derivable en (a,b). Entonces existe al menos un punto c en el intervalo abierto (a,b) tal que:
 
  
Nota: Esta idea intuitiva es muy similar a la generada para construir el concepto de derivada, a través del concepto de Leibnitz.

en el gráfico (a,f(a)) y (b,f(b)) son...
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