Teorema del limite central

Páginas: 2 (279 palabras) Publicado: 1 de febrero de 2010
El teorema del límite central o teorema central del límite indica que, en condiciones muy generales, la distribución de la suma de variables aleatorias tiende auna distribución normal (también llamada distribución gaussiana o curva de Gauss o campana de Gauss) cuando la cantidad de variables es muy grande.[1]
Teorema:Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una distribución con media μ y varianza σ2. Entonces, si n es suficientemente grande, la variable aleatoria[pic]
tiene aproximadamente una distribución normal con [pic]y [pic].
También se cumple que si
[pic]
tiene aproximadamente una distribución normal con[pic]y [pic], cuanto más grande sea el valor de n, mejor será la aproximación.
Veamos ahora un ejemplo:
Se lanza una moneda al aire 100 veces, si sale cara ledamos el valor 1 y si sale cruz el valor 0. Cada lanzamiento es una variable independiente que se distribuye según el modelo de Bernouilli, con media 0,5 yvarianza 0,25. Calcular la probabilidad de que en estos 100 lanzamientos salgan más de 60 caras.
La variable suma de estas 100 variables independientes sedistribuye, por tanto, según una distribución normal.
Media = 100 * 0,5 = 50
Varianza = 100 * 0,25 = 25
Para ver la probabilidad de que salgan más de 60 carascalculamos la variable normal tipificada equivalente:
[pic]
(*) 5 es la raiz cuadrada de 25, o sea la desviación típica de esta distribución
Por lo tanto:
P (X > 60)= P (Y > 2,0) = 1- P (Y < 2,0) = 1 - 0,9772 = 0,0228
Es decir, la probabilidad de que al tirar 100 veces la moneda salgan más de 60 caras es tan sólo del 2,28%.
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