Teoria de conjuntos

TEORIA DE CONJUNTOS
La teoría de conjuntos fue desarrollada por un matemático alemán llamado George Ferdinand Lwdwig Cantor, fue muy difícil que se aceptara su teoría. Su objetivo era el de formalizar las matemáticas como ya se había hecho con el cálculo cien años antes. Cantor comenzó esta tarea por medio del análisis de las bases de las matemáticas y explicó todo basándose en los conjuntos.Cantor había demostrado que la totalidad de los números naturales comprendidos en el intervalo de extremos 0 y 1 no es numerable, en el sentido de que su infinitud no es la de los números naturales.
George Cantor da una definición de Conjunto y es la siguiente:
“Una colección en un todo de determinados y distintos objetos de nuestra percepción o nuestro pensamiento, llamados los elementos delconjunto”.
Hubo personas que al principio estuvieron de acuerdo con esta definición, pero algunos otros la tomaron como que aún era muy inconsistente.
El problema apareció cuando se comenzaron a encontrar paradojas en esta teoría, siendo la más célebre la paradoja de Russell, y más tarde varios matemáticos encontraron más paradojas, incluyendo al mismo Cantor. Russell descubrió su paradoja en1901, y la publicó en un apéndice de su libro "Principios de las matemáticas".
Cuando los matemáticos supieron de esta paradoja, muchos se preguntaron si las matemáticas en realidad eran consistentes, y sobre todo verdaderas, ya que cualquier suposición matemática podía basarse en una teoría inconsistente.
No solo surgió este problema de las paradojas, cada matemático con análisis de conceptos yteorías fueron aportando más conceptos al área de las matemáticas. Estos aportes no solamente tienen que ver con un análisis o simplemente basarse en teorías: es la lógica la que participa siempre en estas teorías, además de La Teoría de Conjuntos es un área que forma parte de Lógica (lógica Matemática).
La teoría de conjuntos mirada como parte de las matemáticas proporciona el metalenguaje, elcontexto o sustrato de las teorías lógicas. Puede ser completamente expresada en un lenguaje de primer orden y sus axiomas y teoremas constituyen una teoría de primer orden a la que pueden aplicarse los resultados generales que se aplican a cualquier teoría de primer orden.
Un lenguaje utilizado en que se presenta la teoría de conjuntos es el lenguaje formal. Los símbolos del lenguaje formal de lateoría de conjuntos son:
* Los símbolos de conjuntos son letras del alfabeto, mayúsculas y minúsculas.
* El símbolo de la relación de pertenecía entre conjuntos es €.
* Los símbolos lógicos de la lógica de predicados: ┐ (negación), ∧ (conjunción), ∨ (disyunción), → (implicación), ↔ (equivalencia), ∀ (cuantificador universal)
y ∃ (cuantificador existencial) y (, ) (paréntesis).
Estossímbolos generan las formulas de la teoría de conjuntos.
Las reglas de formación de fórmulas son las habituales en la lógica de primer orden.
1. x ∈ y y x = y son fórmulas. Para cualesquiera variables x, y.
2. Si ϕ y ψ son fórmulas, también lo son: ¬ϕ, ϕ ∧ ψ, ϕ ∨ ψ, ϕ → ψ y ϕ ↔ ψ
3. Si ϕ es una fórmula, ∀xϕ y ∃xϕ también lo son.
Estas reglas nos sirven para determinar los elementos que integranun conjunto.
Por ejemplo:
A = {a : a es un entero y 1≤ a≤ 4}
o
A = {x : (x - 2)(x - 1)(x - 4)(x - 3) = 0}

representan el mismo conjunto.
La notación {a : p(a)} se lee: “El conjunto de todos los a tales que p(a) es verdadero”. También se escribe {a / p(a)}.

Ejemplos de las denotaciones de mayúsculas y minúsculas:
“a es un elemento del conjunto A”(o “a es un miembro de A” o “a está
enA” o “a pertenece a A”) se denota: a 2 A.
Si un conjunto no tiene muchos elementos se pueden escribir todos ellos.
Por ejemplo si A es el conjunto con los elementos 1, 2, 3, 4 se indica como:
A = {1, 2, 3, 4}
Los siguientes conjuntos son usualmente empleados en matemática:
N = {x : x es un número entero x ≥ 1}
= {1, 2, 3, 4,...} (Conjunto de los números naturales)
Z = {x : x es un...