Teoria de la estabilidad

TEORIA DE LA ESTABILIDAD

1. SISTEMAS AUTONOMOS, EL PLANO DE FASE

Frecuentemente nos ocurre que no podemos resolver una E.D. analíticamente y con mas frecuencia si la E.D. es no lineal, pero aunque no podamos resolverla explícitamente, si podemos analizar el comportamiento cualitativo de sus soluciones. Buscaremos esta información cualitativa a partir de la E.D., sin resolverlaexplícitamente.

Estudiaremos sistemas de la forma:
dxdt=F(x,y) (1)
dydt=G(x,y) (2)
Donde F y G son continuas y tienen primeras derivadas parciales continuas en todo el plano.
El sistema en el que la variable independiente t no aparece en F y en G se le llama autónomo.

Por el Teorema de Picard, si t0 es cualquier número y (x0; y0) es un punto cualquiera del plano XY, entoncesexiste una única solución:

x=xt (3)

y=y(t) (4)

Tal que x(to)=xo y y(to)=yo

Si x(t) y y(t) no son ambas constantes, entonces (3) y (4) son las ecuaciones paramétricas de una curva en el plano XY, a este plano lo llamaremos el plano de fase y la curva solución la llamaremos una trayectoria del sistema y la denotamos por Γ (x(t) , y(t)), la familia de trayectoriasrepresentadas en el plano de fase la llamaremos el retrato de fase

Nota: si (3) y (4) es solución de (1) y (2), entonces

x=xt+c (5)

y=y(t+c) (6)

también es solución de (1) y (2) para cualquier c, luego,

Γ (x(t) , y(t))= Γ (x(t+c) , y(t+c))

Por tanto, cada trayectoria viene representada por muchas soluciones que dieren entre si por una translación del parámetro.También cualquier trayectoria que pase por el punto (x0; y0), debe corresponder a una solución de la forma (5) y (6), es decir, por cada punto del plano de fase pasa una sola trayectoria, o sea, que las trayectorias no se intersecan.

Nota:

i). La dirección de t creciente a lo largo de la trayectoria dada es la misma para todas las soluciones que representan a esa trayectoria. Una trayectoriaΓ (x(t),y(t))es por tanto una curva dirigida y en las figuras utilizamos flechas para indicar la dirección de t creciente sobre las trayectorias.

ii). De lo anterior se concluye que para los sistemas x'=FX,Y;Y'=G(x,y) y x'=-FX,Y;Y'=-G(x,y) los diagramas de fase son los mismos, excepto que la orientación en cada trayectoria se invierte.

iii). Para el punto (x₀, y₀) tal que

dxdt=Fx₀,y₀=0, y dydt=Gx₀, y₀=0
se cumple que

xto=xo y y(to)=yo

es también solución (solución constante), pero no la llamamos trayectoria.

De las anotaciones anteriores se concluye que las trayectorias cubren todo el plano de fase y no se intersectan entre si, la única excepción a esta afirmación ocurre en los puntos (x₀; y₀), donde F y G son cero.

Definición 1 (PuntoCrítico). Al punto (x₀; y₀) tal que Fx₀, y₀=0 y Gx₀, y₀=0 se le llama un punto critico del sistema.

Nota: en estos puntos la solución es única y es la solución constante xto=xo y y(to)=yo. Como se dijo antes, una solución constante no define una trayectoria, así que por un punto critico no pasa ninguna trayectoria.

A modo de ejemplo en un péndulo amortiguado, la ecuación diferencial esHaciendo x =θ y y = θ’ se obtiene el siguiente sistema autónomo no lineal

x'=y=F(x,y)

y'=-cmy-gasenx=G(x,y)

Los puntos (nπ; 0) para n Є Z son puntos críticos aislados, ya que F(nπ; 0) =0 y G(nπ; 0) = 0. Estos puntos (nπ; 0) corresponden a un estado de movimiento de la partícula de masa m en el que tanto la velocidad angular y=dθdt y la aceleración angular dydt=d2θdt2 se anulansimultáneamente, o sea que la partícula esta en reposo; no hay fuerza que actué sobre ella y por consiguiente esta en equilibrio. Por esta razón en algunos textos a los puntos críticos también los llaman puntos de equilibrio.

Como x't=Fx,y y y't=G(x,t) son las componentes del vector tangencial a las trayectorias en el punto P(x; y), consideremos el campo vectorial:

Fig. 1

Donde
dxdt=F(x,y)...