Teoria de la reatividad

Aproximación para campos gravitatorios débiles
La aproximación para campos gravitatorios débiles comprende la búsqueda de soluciones aproximadas de las ecuaciones del campo de Einstein de la teoría general de la relatividad.
Índice [ocultar]
1 Métrica aproximada para campo débil y pequeñas velocidades
2 Métrica aproximada para campo con simetría esférica
2.1 Geodésicas
2.2 Fuerzaaparente
3 Sistemas de partículas
3.1 Primer orden de Aproximación
3.2 Segundo orden de aproximación
4 Referencias
4.1 Bibliografía
5 Enlaces externos
Métrica aproximada para campo débil y pequeñas velocidades[editar · editar código]

La aproximación para campos gravitatorios débiles, en el caso de pequeñas velocidades es sencilla de obtener en el caso de pequeñas velocidades sin más quecomparar la lagrangiana relativista en el límite de pequeñas velocidades e igualando términos con la lagrangiana clásica.
De acuerdo con los postulados de la relatividad general una partícula se mueve a lo largo de una geodésica de la métrica. Eso implica que la integral de acción escrita en términos e la longitud de arco s, o del tiempo propio τ, viene dada por:
S = \int L\ dt = -mc \int_{s_1}^{s_2}ds = -mc^2 \int_{\tau_1}^{\tau_2} d\tau
A fin de poder comparar esa expresión con el lagrangiano de una partícula clásica, debemos examinar primeramente el límite de la expresión anterior en ausencia de campo. Para ello usaremos la relación entre tiempo propio y tiempo coordenado en ausencia de campo, y el límite clásico correspondiente:
L_{g=0} = -mc^2 \sqrt{1-\cfrac{v^2}{c^2}} \qquad\lim_{c \to \infty} L_{g=0} =
-mc^2 + \frac{mv^2}{2}
Donde v es el módulo de la velocidad de la partícula y c la velocidad de la luz. En el caso de existencia de campo gravitatorio podemos hacer que en el mismo límite anterior el lagrangiano relativista coincida con el lagrangiano clásico de una partícula en un campo gravitatorio:
S = \int L_g\ dt = -mc \int_{s_1}^{s_2} ds \to
\int_{t_1}^{t_2}\left(-mc^2+\frac{mv^2}{2}-m\phi_g \right)\ dt
Donde \phi_g\; representa el potencial gravitatorio clásico de la partícula. Identificando término a término, elevando al cuadrado y despreciando los términos que se anulan en el límite de pequeñas velocidades tenemos:
ds = \left(c -\frac{v^2}{2c}+ \frac{\phi_g}{c} \right)dt \quad \Rightarrow \quad ds^2 = - \left(c^2+2\phi_g\right)dt^2 + dx^2 + dy^2+ dz^2
Las ecuaciones del movimiento de una partícula en un campo gravitatorio débil dado por las ecuaciones anteriores son:
\ddot{\mathbf{r}}= -\dot{t}^2 \boldsymbol{\nabla}\phi_g \approx-\boldsymbol{\nabla}\phi_g, \qquad \ddot{t}+ \frac{2\dot{t}}{c^2+2\phi_g} \dot\mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\nabla}\phi_g = 0
La primera de las anteriores implica que las coordenadas espaciales varíansimilarmente al caso clásico, aunque afectados por un factor de ralentización temporal (\dot{t}^2), mientras que la relación entre el tiempo propio y la coordenada temporal se obtiene integrando la segunda ecuación:
t(\tau) = C_2 + \int_0^\tau C_1\exp\left(-\int_0^{\tau_2} \frac{2\dot\mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\nabla}\phi_g}{c^2+2\phi_g}\ d\tau_1 \right)\ d\tau_2
Métrica aproximada para campo consimetría esférica[editar · editar código]

El análogo relativista del campo gravitatorio creado por una masa esférica viene descrito por una solución exacta de las ecuaciones de Einstein conocida como métrica de Schwarzschild. Dicha solución describe además de trayectorias similares a las de la teoría newtoniana efectos nuevos como el avance del perihelio de los planetas más cercanos al sol, lacurvatura de los rayos de luz y el desplazamiento hacia el rojo de la longitud de onda. La siguiente tabla comparativamente las predicciones de ambas teorías, etc. La forma exacta de la métrica de Schwarzschild postula que la geometría del espacio-tiempo viene dada por la métrica:

ds^2 = -c^2 \left(1-\frac{2GM}{c^2 r} \right) dt^2 + \left(1-\frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1}\mathrm{d}r^2 + r^2\...