Teoria de las matrices neutras

Capitulo 09

DISTRIBUCIONES MUESTRALES

- INTRODUCCION


Sea una población constituída por N elementos de la que se quiere extraer todas las posibles muestras de tamaño n. O sea que, pueden extraerse muestras, si la selección fue hecha con reposición del elemento extraído, ó CN,n muestras si la selección fue hecha sin reposición del elemento. En cada muestra se puede calcular el valor deun cierto estadístico ( , etc). El conjunto de los valores de las estimaciones de así obtenido forma la distribución de probabilidades (pues se efectúa el supuesto de que la muestra es probabilística) denominada distribución de la media muestral, de la varianza muestral, etc.

Al retirar una muestra aleatoria de una población cada valor de la muestra constituye una variable aleatoriacuya distribución de probabilidades es la misma de la población en el instante de retirarse ese elemento. Es claro que si el muestreo fue hecho con reposición todos los valores de la muestra tendrán la misma distribución de probabilidades, o sea que estarán igualmente distribuídos.

Los valores de la muestra también serán igualmente distribuídos si la población fuera infinita pues en ese caso, elretiro de algunos elementos no modificará la distribución de probabilidades de la población. Si bien en la práctica la existencia de poblaciones infinitas es meramente hipotética se puede considerar como infinita a una población suficientemente grande para que su distribución de probabilidades se mantenga inalterada durante la extracción de la muestra.


- DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIARepresentamos con xi la variable de una población de media m y varianza de la que se extrae una muestra aleatoria de n elementos ( ).

Sabemos que:

Si tomamos esperanza matemática
_
E(X)= E`[1/n Sxi]= 1/n E[xi]


Si la muestra es aleatoria, cada tiene la misma distribución de la población o sea que:
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E(X)= 1/nE[m +m+...+m]= 1/n n. m = m


pues X , X,....X son independientes debido a que la muestra fue extraída al azar.

_
X es el estimador insesgado de m. Propiedad que se estudiará mas adelante

_ _
X es consistente, pues s2(X) ® 0 cuando n® ¥
_ _
por lo tanto si X enN(m, s2 ) entonces X N(m, s2(X) ).


Esta conclusión está fundamentada en el siguiente teorema, TEOREMA DE LAS COMBINACIONES LINEALES, una variable aleatoria obtenida por combinación lineal de variables aleatorias normales independientes tiene también distribución normal.,_
Así, si la distribución de la población fuera normal, la distribución muestral de X será también normal, para cualquier tamaño de muestra. El gráfico representa el caso genérico en el que se presenta la distribución muestral de X en el caso de población normal.


Observación: Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra menor será la varianza de
_
X._
Sea la variable aleatoria normal estandarizada de X

donde z @ N(0.1)




en el caso del muestreo sin reposición de población finita se puede demostrar que:

_
Si, X @ N(m, s2 )----> X N( m; s2 N-n)
'n N-1


y, por lo tanto,donde la fracción se llama factor de corrección por finitud



Si la distribución de la población no fuera normal, pero la muestra fuera suficientemente grande resultará del TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE; el que señala: sobre condiciones bastantes generales, una variable aleatoria resultante de una suma de n variables aleatorias independientes tendrá distribución...