Teoria de matrices

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TEORIA DE MATRICES

CONCEPTO DE MATRIZ
Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas.
Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales.Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, ... Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij . Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz : A = (aij)

Cuando nos referimosindistintamente a filas o columnas hablamos de líneas. El número total de elementos de una matriz Am×n es m•n En matemáticas, tanto las Listas como las Tablas reciben el nombre genérico de matrices.
Una lista numérica es un conjunto de números dispuestos uno a continuación del otro.

OPERACIONES CON MATRICES

SUMA DE MATRICES
La suma de dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q de la mismadimensión (equidimensionales) : m = p y n = q es otra matriz C = A+B = (cij)m×n = (aij+bij)

Es una ley de composición interna con las siguientes

PROPIEDADES:
•Asociativa: A+(B+C)=(A+B)+C
•Conmutativ: A+B = B+A
•Elem. neutro : ( matriz cero 0m×n ) , 0+A = A+0 = A
•Elem. simétrico : ( matriz opuesta -A ) , A + (-A) = (-A) + A = 0
Al conjunto de las matrices de dimensiónm×n cuyos elementos son números reales lo vamos a representar por Mm×n y como hemos visto, por cumplir las propiedades anteriores, ( M, + ) es un grupo abeliano.
¡¡ La suma y diferencia de dos matrices NO está definida si sus dimensiones son distintas. !!

PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ
Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica el escalar por todos los elementos dela matriz, obteniéndose otra matriz del mismo orden.

Es una ley de composición externa con las siguientes

PROPIEDADES:


PRODUCTO DE MATRICES
Dadas dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q donde n = p, es decir, el número de columnas de la primera matriz A es igual al número de filas de la matriz B , se define el producto A•B de la siguiente forma :
El elemento aque ocupa ellugar (i, j) en la matriz producto se obtiene sumando los productos de cada elemento de la fila i de la matriz A por el correspondiente de la columna j de la matriz B.

MATRIZ INVERSA

Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada An y la representamos por A-1 , a la matriz que verifica la siguiente propiedad : A-1•A = A•A-1 = I
Decimos que una matriz cuadrada es "regular" sisu determinante es distinto de cero, y es "singular" si su determinante es igual a cero.


PROPIEDADES:

Sólo existe matriz inversa de una matriz cuadrada si ésta es regular.
La matriz inversa de una matriz cuadrada, si existe, es única.
Entre matrices NO existe la operación de división, la matriz inversa realiza funciones análogas.

MATRIZ ESCALONADA POR FILAS
Sea una matriz confilas y columnas. Se dice que es escalonada por filas si para cada índice de fila entre y , o bien la fila es nula, o bien el primer termino no-nulo de la fila ``viene antes'' que el primer termino no-nulo de la fila . Es decir: si el primer termino no-nulo de la fila esta en la columna , entonces los términos en columnas , , ..., de la fila son todos nulos.
Los primeros coeficientesno-nulos de cada fila se llaman los pivotes de la matriz escalonada.

Por ejemplo, la matriz siguiente es escalonada por filas:


En efecto, los coeficientes no-nulos de la fila aparecen a partir de la columna , los de la fila a partir de la columna , y los de la fila a partir de la columna .

La matriz siguiente es triangular superior pero no es escalonada por filas:


En...
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