Teoria de roll

Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica
de la Fuerza Armada Nacional
Unefa – Núcleo Cojedes
Economía Social

Aplicación de las Derivada

Facilitador. Participantes:
Lic. Ángel Palacios Rojas Maglia
Díaz Rooselvelt

Tinaquillo, Enero de 2011

Teorema de Rolle.
El teorema de Rolle, llamada así en honor del matemáticofrancés Michel Rolle (1652-1719), quien publicó por primera vez el teorema de Rolle en un libro titulado "Méthode pour résoudre les égalitéz" en 1691. Sin embargo, tiempo después, se volvió un fuerte crítico de los métodos de su época y atacó de manera directa al cálculo. Su teorema decía lo siguiente: si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangente horizontal. Si lafunción empieza subiendo, tendrá luego que bajar para reencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde la función alcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismo sucede si la función empieza bajando, y f ' es nula en el mínimo de f.

Si f es continua en [ a , b ] , diferenciable en ( a , b ) y f ( a ) = f ( b ) , entonces existe al menos un punto c ∈ ( a , b ) ,tal que: f ’ ( c ) = 0
Ejemplo: Compruebe el teorema de Rolle en f continua en [ 1 , 7 ] , si f ( x ) = x 2 – 8 x + 12 .
Comprobación: f ( a ) = f ( 1 ) = 5
f ( b ) = f ( 7 ) = 5
f ’ ( x ) = 2 x – 8
f ’ ( c ) = 2 c – 8 = 0
c = 4 ( x ( 1 , 7 ) )

Ejemplo 1

Verificar el teorema de Rolle para f(x)=x 2+1 en el intervalo cerrado [-1,1]. Primero sabemos que la función, con dominiotodos los números reales, y derivable en todo punto.
[pic]
la derivada de esta función es: [pic] lo que nos conduce a obtener la posición en la que [pic] [pic]entonces x=0 lo cual indica que la función tiene un máximo o un mínimo en dicho intervalo.
El presente teorema permite realizar una generalización del teorema de Rolle. Como se había mencionado el teorema de Rolle garantiza que si elgrafico de una cuerda es horizontal entonces la función tiene una derivada a paralela al eje de las x´s.

Ejemplo 2

Sea [pic] Demuestrar que f satisface la hipotésis del teorema de Rolle en el intervalo [-2,2] y halla todos los números c en el intervalo abierto (-2,2) tal que [pic]
[pic]
[pic]
Por lo tanto:
[pic]
Verifique que las tres condiciones de la hipótesis del teorema deRolle se satisfacen para cada uno de los intervalos siguientes: [pic]y [pic]. Después haga una elección adecuada para C en cada uno de estos intervalos, de modo que [pic]
Solución
Al diferenciar [pic]se tiene: [pic] Como [pic]existe para todos los valores de [pic]es diferenciable en el intervalo [pic]y por tanto, continua en el intervalo [pic]Así, las condiciones 1 y 2 del teorema de Rolle secumplen en cualquier intervalo. A fin de terminar los intervalos en los que se cumple la condición 3, se obtienen los valores de [pic]para los cuales [pic]. Si [pic]entonces [pic]
[pic] [pic] [pic]
Con [pic]y [pic], el teorema de Rolle se cumple en [pic]. De manera semejante, el teorema de Rolle se cumple en [pic]y [pic]. Con el fin de determinar valores adecuados para [pic], considere[pic], de donde se obtiene
[pic] [pic] [pic]
Por tanto, en el intervalo [pic], una elección adecuada para [pic]es [pic]. En el intervalo [pic]se toma [pic]. En el intervalo [pic]existen dos valores posibles para [pic]: [pic]o [pic].

Máximos y Mínimos Relativos y Absolutos.

Una función presenta un máximo relativo, o simplemente un máximo, en un punto si la función vale másque en sus proximidades. Son puntos donde la función pasa de creciente a decreciente. Una función presenta un mínimo relativo, mínimo, en un punto si la función vale menos que en sus proximidades. Son puntos donde la función pasa de decreciente a creciente. Los máximos y mínimos se llaman extremos relativos. Una función presenta un máximo (mínimo) absoluto en un punto si los valores que toma la...