Teoria Polinomios Cideac

Polinomios
Antes de empezar

Utilidad de los polinomios
Los polinomios no solo están en la base de la informática, en economía los
cálculos de intereses y duración de las hipotecas se realizan con expresiones
polinómicas, así, el capital C a un porcentaje x en 3 años se convierte en
C·(1+x)3 que es el cubo de un binomio.
La medicina y otras ramas de la ciencia avanzan ayudadas de estaherramienta
algebraica. Investiga en la web las utilidades de los polinomios.

MATEMÁTICAS B „

37

Polinomios
1. Polinomios
Grado y coeficientes
El polinomio x3+4x+2 está formado por la suma de
tres monomios: x3, 4x y 2; su grado, o máximo
exponente de x, es 3 y los coeficientes de este
polinomio son 1 0 4 2.
1
0
4
2

es
es
es
es

el
el
el
el

coeficiente
coeficiente
coeficiente
coeficiente

de
de
de
degrado
grado
grado
grado

3
2
1
0

Se pretende que se identifique
x3+4x+2
con su expresión en coeficientes
1042

Pide a un compañero que memorice una
de estas figuras pero que no diga cuál. Tu
por telepatía la adivinarás.
Pregúntale si la figura escogida está en
cada una de las siguientes tarjetas

SI =1

Valor numérico
Al sustituir la variable x de un polinomio por un
número se obtiene el valornumérico del polinomio.
Así el valor numérico en 3 del polinomio
P(x)=2x3-x+4

NO =0

es P(3)= 2·33-3+4=55
Puedes utilizar la calculadora para
hallar el valor numérico de un
polinomio. Recuerda que para realizar
la potencia 74 se utiliza la tecla xy ,
7 xy 4=
Æ2041

El valor numérico en 10 del polinomio de coeficientes
2 4 6 es 246 esta coincidencia del valor en 10 con
los coeficientes se debe a quenuestro sistema es de
base 10 y 246 es igual a 2·102+4·10+6.

NO =0

SI =1

Si el número 347 está expresado en base 8, su
expresión en nuestro sistema usual, el decimal, es
3·82+4·8+7=231 que es el valor en 8 del polinomio
de coeficientes 3 4 7.
En el sistema binario las cifras empleadas son 0 y 1
aquí el valor decimal de 1000110 en binario es
1·2 +1·2 +1·2=70
6

2

La cantidad de color se sueleexpresar en sistema
hexadecimal o de base 16, este sistema tiene 16 cifras
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9, a=10, b=11, c=12, d=13, e=14, f=15 y
en este sistema la cantidad 38 de color azul equivale a
3·16+8=56 en decimal.

38

„ MATEMÁTICAS B

NO =0
Con cada respuesta afirmativa escribe 1,
con la negativa un 0, para el resultado
10010, la figura es la 1·24+1·2=18, el
círculo verde. Solo hay que calcular elvalor
en
2
del
polinomio
cuyos
coeficientes se obtienen con 1 o 0, con Sí
o No.

Polinomios
EJERCICIOS resueltos
1.

Halla la expresión en coeficientes de los polinomios P(x)=5x2+2x+1; Q(x)=x3-3x;
R(x)=0,5x2 –4
Las respectivas expresiones en coeficientes son
P(x)Æ 5 2 1;

2.

Q(x)Æ 1 0 -3 0;

Escribe las expresiones polinómicas de los polinomios cuya expresión en coeficientes
es:
P(x)Æ 2 1 3 -1;Q(x)Æ 1 3 0 0; R(x)Æ 3/4 -1 0 2
P(x)=2x3+x2+3x-1;

3.

R(x)Æ 0,5 0 -4

Q(x)=x3+3x2;

R(x)=3/4 x3-x2+2

Completa la tabla:
EXPRESIÓN POLINÓMICA
3

5

-2x +x -3x

EXPRESIÓN EN COEFICIENTES

GRADO

2

x2/3-1
-2 π 0 0
-2 1,3 0 -1/7
3- 2 x2
Estos polinomios son polinomios en una variable, x, con coeficientes en el cuerpo de los
números reales. El conjunto de estos polinomios se designa por lR[x].POLINÓMICA

COEFICIENTES

GRADO

-2x3+x5-3x2

1 0 -2 -3 0 0

5

x2/3-1

1/3 0 -1

2

π x2 - 2x3
3

2

-2x +1,3x -1/7
3- 2 x

4.

2

-2

π

3

0 0

-2 1,3 0 -1/7

3

- 2 0 3

2

Halla el valor numérico en 1, 0 y –2 de los polinomios del ejercicio anterior
POLINOMIO

Valor en 1

Valor en 0

Valor en -2

-4

0

-28

-2/3

-1

1/3

-2+π

0

16+4

-2x +1,3x -1/7

-59/70

-1/7

737/35

- 2 x2+3

- 2 +3

3

-4 2+3

5

3

2

x -2x -3x
2

x /3-1
- 2x +π x
3

3

2

2

π

MATEMÁTICAS B „

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Polinomios
2. Operaciones
Para operar con polinomios puede resultar cómodo
pasar a sus expresiones en coeficientes, operar con
estas y dar el resultado en forma polinómica.

Diferencia

Suma

P(x)=3x3+x2+5x+4
Q(x)=3x3+3x+2

P(x)=8x4+x2-5x-4
Q(x)=3x3+x2-3x-2
Se suman los coeficientes de igual grado:
P(x)Æ
8
Q(x)Æ...