Teoria

Teoría de Conjuntos
 
NOCION INTUITIVA DE CONJUNTO
Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.
Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a Î A.
En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota aÏ A.
 
Ejemplos de conjuntos:
 
* Æ : el conjunto vacío, quecarece de elementos.
* N: el conjunto de los números naturales.
* Z: el conjunto de los números enteros.
* Q : el conjunto de los números racionales.
* R: el conjunto de los números reales.
* C: el conjunto de los números complejos.
 
Se puede definir un conjunto:
* por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.
* porcomprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.
 
Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión,
o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:
* A := {1,2,3, ... ,n}
* B := {pÎ Z | p es par}
 
Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una partede B),
y se denota A Í B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a Î A Þ a Î B.
Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A Í B y B Í A;
esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).
Para cualquier conjunto A se verifica que ÆÍ A y A Í A;
B Í A es un subconjunto propio de A si A ¹ Æ y B ¹A.
El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota à (A).
Entonces, la relación B Í A es equivalente a decir B Î Ã (A). Ejemplos:
 
Si A = {a,b} entonces à (A) = {Æ ,{a},{b},A}.
Si a Î A entonces {a} ÎÃ (A).

Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U,
se suele considerar a dicho U comoconjunto universal o de referencia.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A - B := {a Î A | a Ï B}.
Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A D B := (A - B) È (B - A).
Si A Î Ã (U), a la diferencia U - A se le llama complementario de A respecto de U,
y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica:
* Æ ' = U .
* U ' = Æ .
* (A')' = A .
* A Í B Û B' Í A' .
* Si A = { x Î U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x Î U | p(x) es una proposición falsa}.
 
Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B,
esdecir: A È B := { x | x Î A Ú x Î B}.
Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B,
es decir: A Ç B := {x | x Î A Ù x Î B}.
Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que A - B = A Ç B'.
En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades:
PROPIEDADES | UNION | INTERSECCION |
1.- Idempotencia | A È A = A | A Ç A = A |
2.- Conmutativa | A È B = B È A | A Ç B = B Ç A |
3.- Asociativa | A È ( B È C ) = ( A È B ) È C | A Ç ( B Ç C ) = ( A Ç B ) Ç C |
4.- Absorción | A È ( A Ç B ) = A | A Ç ( A È B ) = A |
5.- Distributiva | A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C ) | A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C ) |
6.-Complementariedad | A È A' = U | A Ç A' = Æ |

 
Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión e intersección tenga una estructura de álgebra de Boole.
Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades:
* A È Æ = A , A Ç Æ = Æ ( elemento nulo ).
* A È U = U , A Ç U = A ( elemento universal ).
* ( A È B )' = A' Ç B' , ( A Ç B )' = A' È B' ( leyes...