Tipos de probabilidades

Para calcular la probabilidad de eventos es necesario que éstos se comporten de una manera más o menos estable. Precisamente, se echa mano de la regularidad estadística, que es la propiedad de los fenómenos aleatorios, y que consiste en que al aumentar el número de repeticiones de un experimento en condiciones prácticamente constantes, la frecuencia relativa de ocurrencia para cada evento tiendea un valor fijo. Sin embargo, al momento de definir la probabilidad de un evento podemos tomar en cuenta los siguientes criterios:
1. La probabilidad subjetiva de un evento se la asigna la persona que hace el estudio, y depende del conocimiento que esta persona tenga sobre el tema.
2. La probabilidad frecuencial de un evento es el valor fijo al que tienden las frecuencias relativas deocurrencia del evento de acuerdo a la regularidad estadística. Esta definición sería la más real, pero proporciona probabilidades aproximadas, es decir, proporciona estimaciones y no valores reales.
3. La probabilidad clásica de un evento E, que denotaremos por P(E), se define como el número de eventos elementales que componen al evento E, entre el número de eventos elementales que componen el espaciomuestral. Es la definición más utilizada porque supone de antemano, y se necesita como requisito indispensable, que todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir.
Probabilidad condicionada
Probabilidad condicionada es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «laprobabilidad de A dado B.
No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se ledé a los eventos. El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.
Definición
Dado un espacio de probabilidad y dos eventos (o sucesos) con P(B) > 0, la probabilidad condicional de A dado B está definida como:

se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la fracción en los que también se cumple A.
Interpretación
se puedeinterpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la fracción en los que también se cumple A. Si el evento B es, por ejemplo, tener la gripe, y el evento A es tener dolor de cabeza, sería la probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se está enfermo de gripe.
Gráficamente, si se interpreta el espacio de la ilustración como el espacio de todos los mundos posibles, A serían los mundos en losque se tiene dolor de cabeza y B el espacio en el que se tiene gripe. La zona verde de la intersección representaría los mundos en los que se tiene gripe y dolor de cabeza . En este caso , es decir, la probabilidad de que alguien tenga dolor de cabeza sabiendo que tiene gripe, sería la proporción de mundos con gripe y dolor de cabeza (color verde) de todos los mundos con gripe: El área verdedividida por el área de B. Como el área verde representa y el área de B representa a P(B), formalmente se tiene que:

EVENTOS INDEPENDIENTES

 
Cuando A y B son dos eventos con probabilidades positivas, hemos visto que en general la probabilidad condicional del evento B dado el evento A es diferente de la probabilidad del evento B. Sin embargo, cuando se tiene la igualdad: P(B/A) = P(B) es deespecial importancia porque esto quiere decir que el evento B no depende o es independiente del evento A. Es decir, no importa si ocurrió o no el evento A puesto que la ocurrencia o no de A no afecta al evento B.
Proposición 3.6: Si B es independiente de A, entonces A es independiente de B.
Demostración: De la definición de probabilidad condicional se tiene
y
Despejando [3.3]
Como B es...