tipos de solucion del metodo grafico

PROGRAMACIÓN LINEAL




 

 

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que pretenden resolver la situación siguiente:
Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, función lineal de varias variables, sujeta a:
una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales.

Un problema deprogramación lineal en dos variables, tiene la siguiente formulación estándar:

Pudiendo cambiarse maximizar por minimizar, y el sentido de las desigualdades.
En un problema de programación lineal intervienen:
La función f(x,y) = ax + by + c llamada función objetivo y que es necesario optimizar. En esa expresión x e y son lasvariables de decisión, mientras que a, b y c son constantes.Las restricciones que deben ser inecuaciones lineales. Su número depende del problema en cuestión. El carácter de desigualdad viene impuesto por las limitaciones, disponibilidades o necesidades, que son: inferiores a ... ( menores: < o  ); como mínimo de ... (mayores: > o ) . Tanto si se trata de maximizar como de minimizar, las desigualdades pueden darse en cualquiera de los dos sentidos.
Al conjunto de valoresde x e y que verifican todas y cada una de las restricciones se lo denomina conjunto (o región ) factible. Todo punto de ese conjunto puede ser solución del problema; todo punto no perteneciente a ese conjunto no puede ser solución. En el apartado siguiente veremos como se determina la región factible.
La solución óptima del problema será un par de valores (x0, y0) del conjunto factible que hagaque f(x,y) tome el valor máximo o mínimo.
 
 
 



Determinación de la región factible
La solución de un problema de programación lineal, en el supuesto de que exista, debe estar en la región determinada por las distintas desigualdades. Esta recibe el nombre de región factible, y puede estar o no acotada.

La región factible incluye o no los lados y los vértices, según que lasdesigualdades sean en sentido amplio ( o ) o en sentido estricto (< o >).
Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un polígono convexo con un número de lados menor o igual que el número de restricciones.
El procedimiento para determinar la región factible es el siguiente:
1) Se resuelve cada inecuación por separado, es decir, se encuentra el semiplano de soluciones de cada una delas inecuaciones.
Se dibuja la recta asociada a la inecuación. Esta recta divide al plano en dos regiones o semiplanos
Para averiguar cuál es la región válida, el procedimiento práctico consiste en elegir un punto, por ejemplo, el (0,0) si la recta no pasa por el origen, y comprobar si las coordenadas satisfacen o no la inecuación. Si lo hacen, la región en la que está ese punto es aquellacuyos puntos verifican la inecuación; en caso contrario, la región válida es la otra.
2) La región factible está formada por la intersección o región común de las soluciones de todas las inecuaciones.
Como sucede con los sistemas de ecuaciones lineales, los sistemas de inecuaciones lineales pueden presentar varias opciones respecto a sus soluciones: puede no existir solución, en el caso de queexista el conjunto solución puede ser acotado o no.






Método gráfico 
o Método de las rectas de nivel
Las rectas de nivel dan los puntos del plano en los que la función objetivo toma el mismo valor.
Si la función objetivo es f(x,y) = ax + by + c, la ecuación de las rectas de nivel es de la forma:
ax + by + c = 0 ax + by = k
Variando k (o p) se obtienen distintos niveles para esas rectasy, en consecuencia, distintos valores para f(x,y).
En un problema todas las rectas de nivel son paralelas, pues los coeficientes a y b de la recta ax + by = k son los que determinan su pendiente. Por tanto, si k1 es distinto de k2 , las rectas ax + by = k1 y ax + by = k2 son paralelas. Luego, trazada una cualquiera de esas rectas, las demás de obtienen por desplazamientos paralelos a ella....